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Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

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Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus gehören zu den Areafunktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen zu Sekans Hyperbolicus bzw. Kosekans Hyperbolicus.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Eigenschaften
3 Reihenentwicklung
4 Ableitung
5 Integral

[Bearbeiten] Definition

$\operatorname{arsech}(x) = \ln \left( \frac{1 + \sqrt{1-x^2}} {x} \right)$

$\operatorname{arcsch}(x) = \ln \left( {x}^{-1}\pm\sqrt {1+{x}^{-2}} \right)$ $x \ne 0$

[Bearbeiten] Eigenschaften

Graph der Funktion Areasecans Hyperbolicus

Graph der Funktion Areasecans Hyperbolicus

Graph der Funktion Areakosekans Hyperbolicus

Graph der Funktion Areakosekans Hyperbolicus

	Areasecans Hyperbolicus	Areakosekans Hyperbolicus
Definitionsbereich	$0 < x \le 1$	$- \infty < x < + \infty \, ; \, x\ne 0$
Wertebereich	$0 \le f(x) < + \infty$	$- \infty < f(x) < + \infty \, ; \, f(x) \ne 0$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton fallend	$x \ne 0$ streng monoton fallend
Symmetrien	keine	Ungerade Funktion $f (x) = - f ( - x)$
Asymptote	$f(x) \to 0$ ; $x \to +1$	$f(x) \to 0$ ; $x \to \pm \infty$
Nullstellen	$x = 1$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	$x = 0$	$x = 0$
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	$x = \frac{1}{2}\sqrt{2}$	keine

[Bearbeiten] Reihenentwicklung

$\operatorname{arsech}(x) = \ln \left(\frac{2}{x}\right) - \sum_{k=1}^\infty \frac{(2k-1)!! x^{2k}}{(2k)!! 2k }\quad ;\qquad 0 < x < 1$

$\operatorname{arcsch}(x) = \sum^{\infty}_{k=1} \frac{P_{k-1}(0)}{k}x^k$

Dabei ist $P k$ das k-te Legendre-Polynom.

[Bearbeiten] Ableitung

$\frac{d}{dx}{\rm arsech}(x)= - \frac{1}{x \sqrt{1-x^2}}$ .

$\frac{d}{dx}\operatorname{arcsch}(x)= -\frac {1}{x\sqrt{1+x^2}}$ .

[Bearbeiten] Integral

$\int\operatorname{arsech}(x)= x\cdot\operatorname{arsech}(x)-\operatorname{arctan}\left(\sqrt{\frac{1}{x}-1}\sqrt{\frac{1}{x}+1}\right)$

$\int\operatorname{arcsch}(x)= x\operatorname{arcsch}(x) +\ln\left( x+x\sqrt {1+{x}^{-2}}\right)$

Hyperbolische und Area-Funktionen

Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus
Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus
Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus
Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus
Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus
Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus

Von „http://de.wikipedia.org../../../a/r/e/Areasekans_Hyperbolicus_und_Areakosekans_Hyperbolicus_8ef3.html“

Kategorie: Hyperbolische Funktion

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