Konvergenzradius

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Als Konvergenzradius einer Potenzreihe der Form

$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$

ist die größte Zahl $r$ definiert, für welche die Potenzreihe für alle $x$ mit $| x - x 0 | < r$ konvergiert. Das heißt, der Konvergenzbereich dieser Funktionenreihe enthält das Innere der Kreisscheibe um den Mittelpunkt $x 0$ und mit Radius r.

Bei Potenzreihen lässt sich der Konvergenzradius mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen. Es gilt:

$r=\frac{1}{\limsup(\sqrt[n]{|a_n|})}$

Wenn ab einem bestimmten Index alle $a n$ von 0 verschieden sind und der folgende Limes existiert, dann kann der Konvergenzradius einfacher auf folgende Weise berechnet werden:

$r = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_n}{a_{n+1}} \bigg|$

Diese Formel ist aber nicht immer anwendbar, zum Beispiel bei der Koeffizientenfolge $a 2 n = 1, a 2 n + 1 = 1 / n$ : Die zugehörige Reihe hat Konvergenzradius 1, aber der angegebene Limes existiert nicht. Die Formel von Cauchy-Hadamard ist dagegen immer anwendbar.

Folgerungen aus dem Konvergenzradius:

Ist $| x - x 0 | < r$ , so ist die Potenzreihe absolut konvergent
Ist $| x - x 0 | > r$ , so ist die Potenzreihe divergent
Ist $| x - x 0 | = r$ , so kann keine allgemeine Aussage getroffen werden.

[Bearbeiten] Beispiele für unterschiedliches Randverhalten

Die folgenden drei Beispiele haben jeweils Konvergenzradius 1:

$\sum_{n=0}^\infty x^n$ konvergiert für kein $x$ mit $| x | = 1$
$\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^2}$ konvergiert für alle $x$ mit $| x | = 1$
$\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}$ konvergiert für alle $x$ mit $| x | < = 1$ außer für $x = 1$ .

[Bearbeiten] Literatur

E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie. 2. Auflage, Springer-Verlag Berlin 1995, ISBN 3-540-58650-4
P. Hartmann: Mathematik für Informatiker. 3. Auflage, Friedr. Vieweg & Sohn Verlag Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-23181-5

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Kategorien: Funktionentheorie | Folgen und Reihen

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