Shannon-Hartley-Gesetz

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Das Shannon-Hartley-Gesetz (nach Claude Shannon und Ralph Hartley) beschreibt die theoretische Obergrenze der Kanalkapazität (maximale Datenübertragungsrate ohne Übertragungsfehler) eines Übertragungskanals in Abhängigkeit von Bandbreite und Signal-zu-Rausch-Verhältnis. Es ist eine der wichtigsten Grundlagen der Nachrichtentechnik und Kommunikationstechnologie.

In der Praxis wird die maximale Datenübertragungsrate von der Kanalkodierung beeinflusst. Das Shannon-Hartley-Gesetz liefert das theoretische Maximum, das mit einer hypothetischen optimalen Kanalkodierung erreichbar ist.

Über einen perfekten Übertragungskanal könnte man theoretisch Daten beliebig schnell übertragen. Da aber real existierende Kanäle immer Störungen unterworfen sind (eingestreute Störungen, Rauschen, endlicher Widerstand des Leiters usw.), die zur Abschwächung und zum Verrauschen des Signals führen, ist die maximal mögliche Übertragungsrate begrenzt. Die Bandbreite bestimmt die maximal mögliche Symbolrate, also die Frequenz, mit der Daten über die Leitung geschickt werden können. Die Stärke der auf dem Übertragungsweg entstandenen bzw. eingefangenen Störungen (beschrieben durch das Signal-Rausch-Verhältnis) begrenzt den maximalen Informationsgehalt eines Symbols. Vereinfachend gesagt bestimmt die Bandbreite, wie oft (bei der Übertragung durch ein Kabel) die Spannung geändert werden kann und das Signal-Rausch-Verhältnis, wie viele verschiedene Spannungspegel dabei unterschieden werden können.

Harry Nyquist fand folgenden Zusammenhang:

$D = 2 \cdot B \cdot \log_2(L)$

mit

D = Datenübertragungsrate in Bit/s

B = Bandbreite in Hz

L = Anzahl der Signalniveaus (Pegel)

Claude Shannon verallgemeinerte dieses Theorem zum Shannon-Hartley-Gesetz

$C = B \cdot \log_2(1+S/N)$

mit

C = effektive Datenübertragungsrate in Bit/s

S = effektive Signalleistung

N = effektive Rauschleistung

Beispiel: Über eine Leitung mit dem Signal-Rausch-Abstand von 20 dB lassen sich bei einer verfügbaren Bandbreite von 3000 Hz demnach maximal 20 kBit/s übertragen:

$C= 3000~{\rm Hz} \cdot \log_2(1+20{\rm dB}) = (3000 \cdot \log_2(1+10^\frac{20}{10}))\, {\rm Bit/s} = 20\, {\rm kBit/s}$

Inhaltsverzeichnis

1 Shannons geometrisch-stochastischer Ansatz
- 1.1 Beispiele für Basissignale
- 1.2 Übertragung im rauschgestörten Kanal
2 Weblink

[Bearbeiten] Shannons geometrisch-stochastischer Ansatz

In der Arbeit "Communication in the presence of noise" betrachtete Claude Elwood Shannon als Modell eines Übertragungskanals als einen unendlichdimensionalen Vektorraum von zeitabhängigen Funktionen, d.h. Signalen. Dieser habe, auf einen Zeitraum der Länge T eingeschränkt, in etwa 2TW Dimensionen. Anders ausgedrückt, dieser Signalraum habe eine orthonormale Basis, welche unter gewissen zeitlichen Verschiebungen in sich überführt wird, d.h. der Kanal ist ein zeitdiskretes LZI-System (lineares zeitinvariantes dynamisches System). Ist T eine solche Periode, so gebe es 2TW Basissignale, aus welchen alle anderen Basissignale durch Verschiebung um Vielfache von T hervorgehen. Da ein beliebiges Signal eine Linearkombination der Basissignale ist, und die Koeffizienten mittels Skalarprodukt mit den Basissignalen zurückgewonnen werden können, hat der Kanal eine Daten- bzw. Symbolrate von 2W.

[Bearbeiten] Beispiele für Basissignale

[Bearbeiten] Kardinalreihen

Shannon benutzte als einfachstes Signalmodell die Basisbandsignale mit einer höchsten Frequenz W. Nach dem WKS-Abtasttheorem (für Whittaker-Kotelnikow-Shannon, siehe Nyquist-Shannon-Abtasttheorem) können in diesem Kanal gerade 2WT Symbole im Zeitraum T übertragen werden, die Basissignale sind sinc-Funktionen

$g_n(t)=\operatorname{sinc}(2Wt-n)=\frac{\sin\pi(2Wt-n)}{\pi(2Wt-n)}$ ,

n = ..., -1, 0, 1, ... Diese haben jeweils ihr Zentrum bzw. Maximum bei $t_n=\frac{n}{2W}$ , d.h. die Symbolrate beträgt 2W. Dieses Orthonormalsystem ist die ideale theoretische Modellierung des frequenzbeschränkten PCM-Verfahrens (Puls-Code-Modulation).

[Bearbeiten] QAM

Das ideale QAM--System (Quadraturamplitudenmodulation) überträgt mit Symbolrate W Daten auf dem Frequenzband [F-W/2,F+W/2]. Dabei muss die mittlere Trägerfrequenz F ein ganzzahligens Vielfaches der Bandbreite W sein. Die Symbole sind hier komplexe Zahlen $A n + i B n$ , d.h. Punkte in der Gaußschen Zahlenebene. Es werden also wieder 2WT reelle Zahlen im Zeitraum T übertragen. Pro komplexem Symbol muss es auch zwei Basisfunktionen geben, diese können zu einer komplexwertigen Funktion zusammengefasst werden:

$g_n(t)=g_{Q,n}(t)+ig_{I,n}(t) =\operatorname{sinc}(Wt-n)\cdot e^{i2\pi\,Ft} =\frac{\sin\pi(Wt-n)}{\pi(Wt-n)}(\cos(2\pi\,Ft)+i\sin(2\pi\,Ft)$ ,

n = ..., -1, 0, 1, ... Jedes Signal ergibt sich dann als Summe über $A n g Q, n (t) + B n g I, n (t)$ .

[Bearbeiten] OFDM

Das ideale OFDM-System (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) überträgt mit Symbolrate W/M einen komplexwertigen Vektor der Dimension M auf dem Frequenzband [F-W/(2M),F+W+W/(2M)]. F muss ein ganzzahliges Vielfaches der Datenrate W/M sein. Es muss also 2M reellwertige Basissignale pro vektorwertigem Symbol geben, die zu M komplexwertigen Funktionen zusammengefasst werden können

$g_{j,n}(t)+ig_{M+j,n}(t)=\operatorname{sinc}(Wt/M-n)\cdot e^{-i2\pi\,(F+jW/M)t}$

$=\frac{\sin\pi(Wt/M-n)}{\pi(Wt/M-n)}(\cos(2\pi\,(F+jW/M)t)-i\sin(2\pi\,(F+jW/M)t)$ ,

j = 0, ..., M-1, n = ..., -1, 0, 1, ...

Da die sinc-Funktion technisch nicht zu realisieren ist, muss man andere Lösungen finden. Durch Frequenzfilter wird die Orthogonalität der Basissignale zerstört, es entstehen gegenseitige Störungen innerhalb des Symbols (ICI) und zwischen den Symbolen (ISI). Erhöht man die Taktrate der Signalerzeugung, ohne die Datenrate zu erhöhen, so kann man die gewonnene Freiheit zur Formung eines schon ohne Filterung frequenzbeschränkten Signals nutzen. Eine Variante davon benutzt Wavelet-Paket-Bäume.

[Bearbeiten] Übertragung im rauschgestörten Kanal

Es seien die reellen Basissignale mit einem einzelnen Index durchnummeriert und ein Zeitraum T so fixiert, dass innerhalb dieses Zeitraums D=2WT Basissignale liegen. Gleichmäßiges, auf den Übertragungskanal beschränktes Rauschen kann durch Linearkombinationen $\sum_n\varepsilon_ng_n(t)$ ebendieser Basissignale mit normalverteilten, voneinander unabhängigen zufälligen Koeffizienten $\varepsilon_n$ der Varianz $σ 2 = N$ simuliert werden.

Ein Code der Länge D, d.h. ein Tupel $x_1,\dots,x_D$ reeller Zahlen, wird als kontinuierliches Signal $f(t)=x_1g_1(t)+\dots+x_Dg_D(t)$ gesendet. Während der Übertragung wird diesem eine Störung linear überlagert, das empfangene, gestörte Signal ist

$\tilde f(t)=(x_1+\varepsilon_1)g_1(t)+\dots+(x_D+\varepsilon_D)g_D(t)$ .

[Bearbeiten] Geometrie der Signalpunkte

Sei das Signal auf eine durchschnittliche Leistung $P$ beschränkt, wobei Leistung direkt dem Amplitudenquadrat entspreche. Das ist zulässig, da am Ende nur Verhältnisse verschiedener Leistungen verglichen werden, weitere konstante Faktoren sich also kürzen. Da die Basissignale orthonormal sind, hat das kontinuierliche Signal die Quadratsumme seiner Koeffizienten als Leistung, d.h. $\|f\|_2^2=|x_1|^2+\dots+|x_D|^2=DP$ .

Anders gesagt, der Code $(x_1,\dots,x_D)$ ist ein Punkt auf einer D-dimensionalen Sphäre mit Radius $R_0:=\sqrt{DP}$ .

Die Quadratsumme der D voneinander unabhängigen Fehler $(\varepsilon_1)^2+\dots+(\varepsilon_D)^2$ liegt nach dem Gesetz der großen Zahlen dicht bei ihrem Erwartungswert DN. Damit liegt der empfangene Code mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit innerhalb einer Kugel vom Radius $r:=\sqrt{DN}$ mit dem gesendeten Code als Mittelpunkt. Da die Störungen als von Signal unabhangig vorausgesetzt werden, liegt die Quadratsumme des empfangenen Codes mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe dem Erwartungswert $R_1^2:=DP+DN$ , d.h. nahe der Sphäre mit dem Radius $R 1$ um den Nullpunkt.

[Bearbeiten] Zufällige Konfiguration

Es sei eine Konfiguration von M=2^DB zufällig ausgewählten Codes mit mittlerer Leistung P fixiert, welche M verschiedenen digitalen Botschaften entsprechen soll, d.h. es werden $D B$ Bit mittels D Basissignalen oder B Bit pro Basissignal kodiert.

Von den kleinen Kugeln mit Radius $r=\sqrt{DN}$ um die Codes der Konfiguration passen maximal $M=\frac{R_1^D\,vol(K_D)}{r^D\,vol(K_D)}=\left(\frac{P+N}{N}\right)^{\frac{D}2}$ Stück in die große Kugel der empfangbaren Signale, d.h. für die maximale Bitrate gilt (mit D/2=WT)

$2WB=\frac{\log_2(M)}T \le W \log_2\left(1+\frac{P}N\right)$ .

[Bearbeiten] Abschätzung des Übertragungsfehlers

Für sehr großes D liegen die gesendeten Codes auf einer Kugel mit Radius $R_0=\sqrt{DP}$ und die empfangenen Codes mit hoher Wahrschienlichkeit in Kugeln mit Radius $r=\sqrt{DN}$ um diese und auf der Kugel mit Radius $R_0=\sqrt{D(P+N)}$ . Man kann also den empfangenen Code mit allen Codes aus der Konfiguration vergleichen, um den zu bestimmen, der einen Abstand kleiner r hat.

Die Fehlerkugel mit Radius r und mit Mittelpunkt auf der Sphäre der empfangenen Codes überstreicht einen Bereich in der Sphäre der gesendeten Codes, welcher seinerseits innerhalb einer Kugel mit Radius $h=\sqrt{\frac{DNP}{N+P}}$ liegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Code außerhalb dieses Bereichs liegt, ist also größer als

$1-\frac{h^D\,vol(K_D)}{R_0^D\,vol(K_D)}=1-\left(\frac{N}{P+N}\right)^{\frac{D}2}$ .

Dass alle M-1 von dem gesendeten Code verschiedenen Codes der Konfiguration außerhalb dieses Bereichs liegen, hat also eine Wahrscheinlichkeit, die größer ist als

$\left(1-\left(\frac{N}{P+N}\right)^{\frac{D}2}\right)^{M-1}\ge 1-M\left(\frac{N}{P+N}\right)^{\frac{D}2}$ .

Soll eine Fehlerwahrscheinlichkeit e unterschritten werden, d.h. obiger Ausdruck größer als 1-e sein, so erhält man nach Umstellen für die Bitrate

$\frac{\log_2(M)}{T}\le W\log_2\left(1+\frac{P}N\right)+\frac{\log_2(e)}{T}$ .

$log 2 (e)$ im zweiten Summanden ist negativ und im Betrage sehr groß, der Beitrag des zweiten Summanden kann aber beliebig klein gestaltet werden, wenn der Zeitraum T und damit auch die Mächtigkeit M der Konfiguration groß genug sind.

Damit kann, mit wachsender Länge der Signale in der Konfiguration, die Bitrate beliebig nahe an die ideale Bitrate herangeführt werden. Jedoch stellen Verwaltung der Konfiguration und das Suchen des am besten dem empfangenden ähnelnden Signals einer direkten praktischen Anwendung schnell wachsende Anforderungen entgegen.

Siehe auch: Leitungscode, en:Shannon–Hartley theorem

[Bearbeiten] Weblink

Claude Elwood Shannon: Communication in the Presence of Noise; In: Proc. IRE, Vol. 37, No. 1 (Jan. 1949), Nachdruck in: Proc.. IEEE Vol. 86, No. 2, (Feb 1998)

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