Kanalkapazität

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Die Kanalkapazität ist Teil der informationstheoretischen Beschreibung des Kanals. Sie gibt an, wie hoch die maximale Bitrate ist, die über einen Kanal fehlerfrei übertragen werden kann.

Claude Shannon zeigte am Modell der Zufallscodes, dass die Kanalkapazität durch Kodierung erreicht werden kann.

[Bearbeiten] Definition

Die Kanalkapazität $C$ für einen diskreten gedächtnisfreien Kanal ist das Supremum aller fehlerfrei erreichbaren Raten. Sie lässt sich auch als Maximum der Transinformation (= wechselseitige Information) angeben, kurz $C = m a x p (X) I (X; Y)$ .

[Bearbeiten] Kanalkodierungstheorem

Das Shannonsche Kanalkodierungstheorem besagt, dass, gegeben ein rauschbehafteter Kanal mit Kanalkapazität C und Informationsrate R, für $R < C$ die Fehlerwahrscheinlichkeit am Empfänger beliebig klein gemacht werden kann. Das heisst, dass es dann theoretisch möglich ist, Information fehlerfrei zu übertragen. Für $R > C$ ist eine beliebig kleine Fehlerwahrscheinlichkeit nicht mehr erreichbar.

[Bearbeiten] Grundlagen

Abtasttheorem
Entscheidungsfluss der Quelle
Quantisierung

[Bearbeiten] Einheit

$\left[C\right] = \frac{\rm bit}{\rm s}$

Im laufenden Text wird auch bit/s geschrieben. Oft auch bps (inkorrekt).

[Bearbeiten] Beispiele

Die Kanalkapazität des binären symmetrischen Kanales (Binary Symmetric Channel, BSC) ist:
$C = 1 - H(p) = 1 + p \cdot \log_2 p + ( 1 - p ) \cdot \log_2 (1 - p) ,$
wobei $H (p)$ die binäre Entropiefunktion darstellt:
$H(p) = - ( p \cdot \log_2 p + ( 1 - p ) \cdot \log_2 (1 - p))$

Die Kanalkapazität des binären Auslöschungskanales (Binary Erasure Channel, BEC) ist:
$C = 1 - δ,$
mit der Auslöschungswahrscheinlichkeit $δ$ .

Die Kanalkapazität des bandbegrenzten Gaußkanales (Additive White Gaussian Noise, AWGN) ist:
$C = \Delta f \log_2 \left( 1 + \frac{S}{N} \right).$
Dabei ist $Δ f$ die Bandbreite und $\frac{S}{N}=SNR$ das Verhältnis zwischen dem Signal und dem Rauschen. Um größtmögliche Kanalkapziät zu bekommen, kann entweder die Bandbreite $Δ f$ erhöht werden oder das SNR kann verbessert werden, so dass die Anzahl der Quantisierungsstufen heraufgesetzt werden kann.

Durch weiteres erhöhen der Bandbreite $Δ f$ auf unendlich und gleichem SNR ergibt sich als höchstmögliche Rate $R$ die ultimative Shannon-Grenze
$R < C_\infty = \frac{E_b}{N_0} = \ln 2 = 0{,}69 = -1{,}6~{\rm dB},$
wobei $E_b = \frac{S}{R}$ die pro Informationsbit normalisierte Sendeenergie darstellt.