Nabla-Operator

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Der Nabla-Operator ist ein Differentialoperator in der Vektoranalysis. Er wird mit dem Nabla-Symbol $\nabla$ bezeichnet oder mit $\vec{\nabla}$ (im englischen Sprachraum $\underline \nabla$ ), um seine Ähnlichkeit zu einem Vektor zu betonen. Es handelt sich aber um einen Pseudovektor. Sein Name stammt von der Bezeichnung eines hebräischen Saiteninstruments, das in etwa die Form dieses Zeichens hatte.

Nabla wird für die kürzere Schreibweise des Gradienten, der Divergenz und der Rotation benutzt.

Im n-dimensionalen Raum Rⁿ liefert $\vec\nabla$ alle partiellen Ableitungen einer Funktion f von Rⁿ nach R, dies ist genau der Gradient von f.

Als n-Vektor aufgefasst ist

$\vec{\nabla} = \left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n}\right)$

Der differenzierende Charakter des Operators wirkt nach rechts (auf die rechts stehenden Zeichen), während der Vektorcharakter wie ein normaler Vektor verwendet wird.

In der Tensoranalysis erweist sich der Nabla-Operator als wichtiges Beispiel für einen kovarianten Tensor.

[Bearbeiten] Notation mit Subskript

Wirkt der Nablaoperator nur auf bestimmte Komponenten einer Funktion mit einem mehrdimensionalen Argument, so wird dies durch ein Subskript angedeutet. Zur einer Funktion $f(\vec{r},t)$ mit $\vec{r}=(x_1, x_2, ..., x_n)$ beispielsweise ist

$\vec\nabla_{\vec{r}} f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}, t\right)$

im Gegensatz zu

$\vec\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}, \frac{\partial{f}}{\partial t} t\right)$ .

[Bearbeiten] Spezialfall im R³

Die folgenden Formeln gelten für alle dreidimensionalen Räume. Hier erläutert am Beispiel des in der Physik am häufigsten vorkommenden Falles eines dreidimensionalen Ortsraums R³ mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y und z (kartesisches Koordinatensystem).

Angewandt auf ein Skalarfeld $\begin{matrix} \Phi(x,y,z) \end{matrix}$ erhält man den Gradienten des Skalarfeldes

$\operatorname{grad\ }\Phi = \vec\nabla \Phi = \left(\frac{\partial\Phi}{\partial x}, \frac{\partial\Phi}{\partial y}, \frac{\partial\Phi}{\partial z}\right) = \frac{\partial\Phi}{\partial x} \vec e_x + \frac{\partial\Phi}{\partial y} \vec e_y + \frac{\partial\Phi}{\partial z} \vec e_z.$

Das Ergebnis ist ein Vektorfeld, $\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z$ sind die kartesischen Einheitsvektoren des R³.

Angewandt auf ein Vektorfeld $\begin{matrix} \vec{V}(x, y, z) \end{matrix}$ ergibt sich die Divergenz des Vektorfeldes als formales Skalarprodukt mit dem Vektorfeld zu

$\operatorname{div\ }\vec{V} = \vec{\nabla} \cdot \vec{V} = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z},$

also einem Skalarfeld.

Die Rotation ergibt sich durch (rechtsseitige) Verknüpfung über das formale Kreuzprodukt

$\operatorname{rot\ }\vec{V} = \vec{\nabla} \times \vec{V} = \begin{pmatrix} \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \\ \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \\ \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \\ \end{pmatrix}$

wieder zu einem Vektorfeld.

Ferner gelten für beliebige Skalarfelder $\psi,~\varphi$ und $f$ und Vektorfelder $\vec A$ und $\vec B$ folgende Rechenregeln:

$\vec\nabla f(r)=\frac{df}{dr}\frac{\vec r}{r}$

$\vec\nabla(\psi\varphi)=\psi\vec\nabla\varphi+\varphi\vec\nabla\psi$ (Produktregel für Gradient)

$\vec\nabla(\vec A\cdot\vec B)=(\vec A\cdot\vec\nabla)\vec B+(\vec B\cdot\vec\nabla)\vec A+\vec A\times(\vec\nabla\times\vec B)+\vec B\times(\vec\nabla\times\vec A)$

$\vec\nabla\cdot(\varphi\vec A)=\varphi\vec\nabla\cdot\vec A+\vec A\cdot\vec\nabla\varphi$

$\vec\nabla\cdot(\vec A\times\vec B)=\vec B\cdot(\vec\nabla\times\vec A)-\vec A\cdot(\vec\nabla\times\vec B)$

$\vec\nabla\cdot\vec\nabla\varphi=\Delta\varphi$ (siehe auch Laplace-Operator)

$\vec\nabla\cdot(\vec\nabla\times\vec A)=0$

$\vec\nabla\times\varphi\vec A=\varphi\vec\nabla\times \vec A-\vec A\times\vec\nabla\varphi$

$\vec\nabla\times (\vec A\times\vec B)=(\vec B\cdot\vec\nabla)\vec A-\vec B(\vec\nabla\cdot\vec A)+\vec A(\vec\nabla\cdot\vec B)-(\vec A\cdot\vec\nabla)\vec B$