Vektorfeld

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Beispiel eines Vektorfeldes. Die Vektoren sind als Pfeile dargestellt, welche Richtung und Betrag (Pfeillänge) wiedergeben

In der mehrdimensionalen Analysis, der Vektorrechnung und der Differentialgeometrie ist ein Vektorfeld eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet. Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der Feldbeschreibung der Physik, um zum Beispiel die Geschwindigkeit und Richtung jedes Punktes einer bewegten Flüssigkeit anzugeben, oder die Stärke und Richtung einer Kraft, die an verschiedenen Punkten verschieden sein kann, wie der magnetischen oder der Schwerkraft.

[Bearbeiten] Definition

Ein Vektorfeld F des euklidischen Raumes $\mathbb R^n$ ist eine glatte Funktion von einer offenen Menge $U \subseteq \mathbb R^n$ nach $\mathbb R^n$ . An jedem Punkt der Menge U wird somit ein "Pfeil angebracht", der sich nicht sprunghaft ändert (die Glattheit von F heißt, dass F unendlich oft stetig partiell abgeleitet werden kann).

Allgemeiner werden Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten definiert: Ein Vektorfeld ist ein glatter Schnitt im Tangentialbündel der Mannigfaltigkeit. Das heißt, das Vektorfeld sieht auf jeder Karte so aus wie ein Vektorfeld des $\mathbb R^n$ .

Obwohl die betrachtete Mannigfaltigkeit meist der zweidimensionale oder dreidimensionale euklidische Raum ist (wo der Tangentialraum überall mit diesem euklidischen Raum übereinstimmt), sind auch andere Mannigfaltigkeiten nützlich: Um die großräumigen Luftbewegungen auf der Erde zu beschreiben, benutzt man Vektorfelder auf einer Kugel (einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit), die Raumzeit ist eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit, und Phasenräume komplexer physikalischer Systeme werden oft durch hochdimensionale Mannigfaltigkeiten beschrieben, deren Vektorfelder angeben, wie sich das System mit der Zeit verändert.

Im Gegensatz zu Vektorfeldern wird durch ein Skalarfeld jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein Skalar zugeordnet.

Wichtige Operationen im Zusammenhang mit Vektorfeldern sind