Modallogik

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten (Unterschied zur vorletzten Version).

Die Modallogik ist derjenige Zweig der Logik, der sich mit den Folgerungen um die Modalbegriffe möglich und notwendig befasst. So lassen sich innerhalb der Modallogik nicht nur Aussagen wie "Es regnet" oder "Alle Kreise sind rund" analysieren, sondern auch Aussagen wie "Möglicherweise regnet es" und "Notwendigerweise sind alle Kreise rund"

Inhaltsverzeichnis

1 Die zugrunde liegende Intuition
2 Formalisieren
3 Modallogische Folgerungen
4 Andere Interpretationen der Modaloperatoren
5 Verschiedene Systeme der Modallogik
- 5.1 Syntaktische Charakterisierung
- 5.2 Semantische Charakterisierung
6 Zur Geschichte der Modallogik
7 Siehe auch
8 Literatur
9 Weblinks

[Bearbeiten] Die zugrunde liegende Intuition

Mit den Begriffen "möglich" und "notwendig" haben wir neben "wahr" und "falsch" eine zusätzliche Dimension, mit der wir Aussagen charakterisieren können: Manche falsche Aussagen sind doch möglich, manche wahre Aussagen sind darüber hinaus notwendig. Wenn wir feststellen wollen, ob eine Aussage möglich ist, können wir versuchen, uns eine Situation vorstellen, in der die Aussage wahr ist. Wir können uns beispielsweise vorstellen, dass es Menschen mit grüner Haut gäbe, die Aussage "Manche Menschen haben grüne Haut" ist daher möglich. Wir können uns jedoch nicht vorstellen, dass es eckige Kreise gäbe, die Aussage "Es gibt eckige Kreise" ist daher nicht möglich, d.h. unmöglich. Außerdem gibt es Aussagen, die in jeder vorstellbaren Situation wahr sind, solche Aussagen bezeichnen wir als notwendig. Notwendige Aussagen sind z.B. "Kreise sind rund" und "Junggesellen sind unverheiratet".

In der Modallogik spricht man statt von möglichen oder vorstellbaren Situationen von "möglichen Welten". Die tatsächliche Welt, in der wir leben, ist dabei eine der möglichen Welten. Eine Aussage ist möglich, wenn sie in einer möglichen Welt wahr ist, sie ist notwendig, wenn sie in allen möglichen Welten wahr ist.

[Bearbeiten] Formalisieren

In der Modallogik wird der Ausdruck "möglich" durch ein auf die Spitze gestelltes Quadrat dargestellt, das auch "Diamond" (Diamant) heißt, und der Ausdruck "notwendig" durch ein kleines Quadrat, das auch "Box" genannt wird.

Schreibweise	Sprechweise
$\Diamond$ p	Es ist möglich, dass p
$\Box$ p	Es ist notwendig, dass p

[Bearbeiten] Modallogische Folgerungen

[Bearbeiten] Modaloperatoren und Negation

Verbinden sich die Modaloperatoren mit der Negation, also dem "nicht", in formaler Darstellung: $\neg$ , so macht es einen Unterschied, ob die Negation sich auf den ganzen, aus Modaloperator und Aussage zusammengesetzten Ausdruck bezieht oder nur auf den dem Modaloperator nachgestellten Ausdruck. "Es ist nicht möglich, dass Sokrates Schuster ist" ( $\neg \Diamond p$ ) bedeutet also etwas anderes als "Es ist möglich, dass Sokrates kein Schuster ist" ( $\Diamond \neg p$ ), die erste Aussage ist falsch, die zweite wahr. Ferner ist zu beachten, dass sich Aussagen mit dem Möglichkeitsoperator in Aussagen mit dem Notwendigkeitsoperator übersetzen lassen und umgekehrt. "Es ist möglich, dass Sokrates kein Schuster ist" ist gleichbedeutend mit "Es ist nicht notwendig, dass Sokrates ein Schuster ist", "Es ist nicht möglich (es ist unmöglich), dass Sokrates ein Elefant ist" mit "Es ist notwendig, dass Sokrates kein Elefant ist". In formaler Schreibweise:

$\Diamond\neg p$ ist äquivalent zu $\neg\Box p$
$\neg\Diamond p$ ist äquivalent zu $\Box\neg p$

"Es ist möglich, dass Sokrates Schuster ist" ist darüber hinaus gleichbedeutend mit "Es ist nicht notwendig, dass Sokrates kein Schuster ist" und "Es ist notwendig, dass Sokrates ein Mensch ist" mit "Es ist nicht möglich, dass Sokrates kein Mensch ist".

$\Diamond p$ ist äquivalent zu $\neg\Box\neg p$
$\Box p$ ist äquivalent zu $\neg\Diamond\neg p$

Aufgrund dieser letzten beiden Äquivalenzen lässt sich der Möglichkeitsoperator durch den Notwendigkeitsoperator definieren bzw. umgekehrt.

[Bearbeiten] Disjunktion und Konjunktion

Die Disjunktion (Oder-Verknüpfung, symbolisch: $\vee$ ) zweier möglicher Aussagen ist gleichbedeutend mit der Möglichkeit ihrer Disjunktion. Aus "Es ist möglich, dass Sokrates ein Schuster ist oder es ist möglich, dass er ein Schreiner ist" folgt "Es ist möglich, dass Sokrates ein Schuster oder ein Schreiner ist" und umgekehrt.

$\Diamond p \vee \Diamond q$ ist äquivalent zu $\Diamond (p \vee q)$

Ähnliches gilt für den Notwendigkeitssoperator und die Konjunktion (Und-Verknüpfung, symbolisch: $\wedge$ ): "Es ist notwendig, dass alle Kreise rund sind, und es ist notwendig, dass alle Dreiecke eckig sind" ist äquivalent mit "Es ist notwendig, dass alle Kreise rund und alle Dreiecke eckig sind".

$\Box p \wedge \Box q$ ist äquivalent zu $\Box (p \wedge q)$

Anders sieht es bei der Konjunktion von Möglichkeits- und der Disjunktion von Notwendigkeitsaussagen aus. Zwar impliziert die Möglichkeit einer Konjunktion zweier Aussagen die Konjunktion der Möglichkeit der Aussagen, dies gilt aber nicht umgekehrt. Wenn es möglich ist, dass Sokrates sowohl Schuster als auch Schreiner ist, dann muss es möglich sein, dass er Schuster ist, und auch möglich, dass er Schreiner ist. Im Gegensatz dazu ist es z.B. sowohl möglich, dass die Anzahl der Planeten gerade ist, als auch möglich, dass sie ungerade ist, es ist aber nicht möglich, dass sie sowohl gerade als auch ungerade ist.

aus $\Diamond (p \wedge q)$ , folgt $\Diamond p \wedge \Diamond q$ , aber nicht umgekehrt

Ähnlich kann man aus der Notwendigkeit einer Disjunktion die Disjunktion der Notwendigkeit der Einzelaussagen folgern, jedoch nicht umgekehrt. Ist es notwendig, dass es unendlich viele Primzahlen gibt oder notwendig, dass Sokrates ein Schuster ist, dann muss es notwendig sein, dass es unendlich viele Primzahlen gibt oder dass Sokrates ein Schuster ist. Es ist aber andererseits beispielsweise notwendig, dass Frank mindestens 75 kg wiegt oder schwerer ist als 75 kg, es aber weder notwendig, dass er 75 kg wiegt, noch notwendig, dass er schwerer ist als 75 kg. Daher:

aus $\Box p \vee \Box q$ folgt $\Box (p \vee q)$ , aber nicht umgekehrt

[Bearbeiten] Quantoren

Die Bedeutung der Anwendung von Quantoren auf Modalaussagen ist in der philosophischen Logik umstritten; der Grund dafür zeigt sich in den so genannten "Barcan-Formeln".

(A) aus $\exists x \Diamond Fx$ folgt $\Diamond \exists x Fx$
(B) aus $\Diamond \exists x Fx$ folgt $\exists x \Diamond Fx$ (umstritten)

Die Folgerung (A) wird von den meisten Modallogikern akzeptiert: Gibt es etwas, was möglicherweise die Eigenschaft F hat, so muss es möglich sein, dass etwas F ist. Hat z.B. jemand möglicherweise einen Bart, so muss es möglich sein, dass jemand einen Bart trägt. Umstritten ist jedoch die Folgerung (B). Philosophen, welche diese Folgerung ablehnen, argumentieren wie folgt: Wir können davon ausgehen, dass es möglich war, dass Wittgenstein, der in Wahrheit kinderlos geblieben ist, einen Sohn hatte. Es ist also möglich, dass es etwas gibt, das Wittgensteins Sohn ist. Es gibt jedoch keinen Menschen, der möglicherweise Wittgensteins Sohn ist, denn welcher Mensch sollte das sein? Das Problem ist hier, dass wir uns eine kontrafaktische Situation vorstellen, in der es Objekte gibt, die es in der tatsächlichen Welt nicht gibt, z.B. Wittgensteins Sohn. Der Existenzquantor im Nachsatz von (B) bezieht sich jedoch nur auf die tatsächlich existierenden Gegenstände und zu diesen zählt Wittgensteins Sohn nicht. Der Vordersatz von (B) kann also wahr sein und der Nachsatz falsch, es handelt sich damit um keine gültige Folgerung.

Ein ganz analoges Problem stellt sich beim Allquantor und dem Notwendigkeitsoperator:

(A) aus $\Box \forall x Fx$ folgt $\forall x \Box Fx$
(B) aus $\forall x \Box Fx$ folgt $\Box \forall x Fx$ (umstritten)

Die Umstrittenheit von B kann man sich anhand desselben Beispiels klar machen wie oben: Alle (tatsächlich existierenden) Menschen sind notwendigerweise keine Söhne Wittgensteins, das bedeutet aber nicht, dass notwendigerweise alle (möglichen) Gegenstände keine Söhne Wittgensteins sind, dass Wittgenstein also keine Söhne hätte haben können.

Aus der Möglichkeit einer Allaussage folgt die Allquantifikation einer Möglichkeitsaussage, aber nicht umgekehrt. Die Gründe hierfür sind ähnlich wie jene, die oben bei der Kombination von Konjunktion und Möglichkeit festgestellt wurden (siehe hierzu auch De re - De dicto). Wenn es möglich ist, dass alle Männer einen Bart tragen, so müssen alle Männer einen Bart haben können. Obwohl beim Backgammon jedoch jeder möglicherweise gewinnen kann, bedeutet dies nicht, dass es möglich ist, dass alle gewinnen (bei diesem Spiel kann es nämlich immer nur einen Gewinner geben).

aus $\Diamond \forall x Fx$ folgt $\forall x \Diamond Fx$ , aber nicht umgekehrt

Die Existenzquantifikation einer Notwendigkeitsaussage impliziert analog die Notwendigkeit der Existenzaussage, aber nicht umgekehrt. Gibt es beispielsweise ein Ding, das notwendigerweise Gott ist, so ist es notwendig, dass es einen Gott gibt. Beim Backgammon gibt es notwendig einen Sieger (das Spiel kann nämlich nicht unentschieden ausgehen), daraus folgt jedoch nicht, dass einer der Spieler notwendig gewinnt.

aus $\exists x \Box Fx$ folgt $\Box \exists x Fx$ , aber nicht umgekehrt

[Bearbeiten] Andere Interpretationen der Modaloperatoren

Die Operatoren Diamond und Box können auch auf andere Weise versprachlicht werden als durch "notwendig" und "möglich". Bei der "deontischen" Deutung werden die Operatoren durch die ethischen Begriffe "erlaubt" und "geboten" interpretiert, man spricht dann nicht mehr vom Modallogik im engeren Sinne, sondern von "deontischer Logik". In der "temporalen Logik" werden die Operatoren dagegen zeitlich interpretiert. Fasst man die Operatoren dagegen als Begriffe des Glaubens, also des subjektiven Für-Wahr-Haltens, auf, gelangt man zur "epistemischen Logik".

Formel	Modale Deutung	Deontische Deutung	Temporale Deutung	Epistemische Deutung
$\Diamond$ p	Es ist möglich, dass p	Es ist erlaubt, dass p	p gilt irgendwann in der Zukunft (Vergangenheit)	Ich halte es für möglich, dass p
$\Box$ p	Es ist notwendig, dass p	Es ist geboten, dass p	p gilt immer in der Zukunft (Vergangenheit)	Ich halte es für gewiss, dass p

Charakteristisch für alle diese Deutungen ist, dass die oben genannten Folgerungen weiterhin sinnvoll und intuitiv bleiben. Dies soll hier nur anhand eines Beispiels, nämlich der Äquivalenz von $\Diamond p$ und $\neg \Box \neg p$ , gezeigt werden.

"Es ist erlaubt, dass p" ist äquivalent zu "Es ist nicht geboten, dass nicht-p"
"p gilt irgendwann in der Zukunft" ist äquivalent zu "Es ist nicht der Fall, dass nicht-p immer in der Zukunft gilt"
"Ich halte es für möglich, dass p" ist äquivalent zu "Ich halte es nicht für gewiss, dass nicht-p".

[Bearbeiten] Verschiedene Systeme der Modallogik

[Bearbeiten] Syntaktische Charakterisierung

Ein formales System der Modallogik entsteht dadurch, dass man einer Aussagenlogik oder Prädikatenlogik modallogische Formeln und zusätzliche Axiome bzw Schlussregeln hinzufügt. Je nachdem von welcher Logik man ausgeht, spricht man von modallogischer Aussagen- bzw. Prädikatenlogik. Die Sprache der Modallogik enthält alle aussagen- bzw. prädikatenlogischen Formeln sowie zusätzlich alle Formeln der Gestalt $\Box p$ und $\Diamond p$ für alle modallogischen Formeln $p$ .

Dabei kann Box durch Diamond definiert werden und umgekehrt nach den bereits bekannten Äquivalenzen:

$\Diamond p$ ist äquivalent zu $\neg\Box\neg p$
$\Box p$ ist äquivalent zu $\neg\Diamond\neg p$

In Bezug auf den modallogischen Ableitungsbegriff ist zunächst festzustellen, dass es verschiedene solche Begriffe, "Systeme" genannt, gibt. Dies hängt z.T. mit den oben genannten, verschiedenen Deutungen der Operatoren Box und Diamond zusammen.

Die allermeisten Modalsysteme bauen auf dem System K (K steht für Kripke) auf. K entsteht dadurch, dass man das Axiomschema K setzt und die Schlussregel der Nezessisierung (auch als „Gödelregel“ bezeichnet, nach dem Logiker Kurt Gödel) erlaubt:

Axiomschema K: $\Box(p \rightarrow q) \rightarrow (\Box p \rightarrow \Box q)$ .
Nezessisierungsregel: Wenn gilt: $\vdash p$ (d.h. wenn p ableitbar ist), so gilt auch $\vdash \Box p$ ( $\Box p$ ist ableitbar).

Im System K sind bereits alle oben diskutierten Folgerungen gültig.

Fügt man zum System K das Axiomenschema T hinzu, so erhält man das System T.

Axiomenschema T $p \rightarrow \Diamond p$ oder auch $\Box p \rightarrow p$

Unter der modalen Deutung ist dieses Schema intuitiv gültig, denn es besagt, dass wahre Aussagen immer auch möglich sind. Unter der deontischen Deutung erhält man, dass alles, was wahr ist, auch erlaubt ist, und dies ist intuitiv keine gültige Folgerung, denn es gibt ja auch Regelverstöße und damit wahre, aber nicht erlaubte Aussagen. Für deontische Anwendungen schwächt man daher das Axiomenschema T zum Axiomenschema D ab. Fügt man D zu K hinzu, erhält man das System D (D für "deontisch")

Axiomenschema D: $\Box p \rightarrow \Diamond p$

D besagt unter der deontischen Deutung, dass alles was geboten ist, auch erlaubt ist, und stellt daher unter dieser Deutung eine sinnvolle Folgerung dar.

Erweitert man T um das Axiomenschema B, so erhält man das System B. (B steht hier für Brouwer.)

Axiomenschema B: $p \rightarrow \Box\Diamond p$

Das System S4 entsteht dadurch, dass man das System T um das Axiomenschema 4 erweitert. (Die Bezeichnung S4 ist historisch und geht auf den Logiker C.I. Lewis zurück. Lewis hat fünf Modalsysteme entwickelt, von denen heute aber nur noch zwei, S4 und S5, in Gebrauch sind.)

Axiomenschema 4: $\Box p \rightarrow \Box\Box p$ oder auch $\Diamond\Diamond p \rightarrow \Diamond p$

Die Systeme S4 und B sind beide stärker als T und damit auch als D. "Stärker" bedeutet hier, dass alle Formeln, die in T (bzw. D) beweisbar sind, auch in S4 und B beweisbar sind, aber nicht umgekehrt. S4 und B sind unabhängig voneinander, d.h. dass in beiden der Systemen Formeln beweisbar sind, die in dem jeweils anderen nicht beweisbar sind.

Fügt man dem System T das Axiomenschema 5 hinzu, erhält man das System S5.

Axiomenschema 5: $\Diamond p \rightarrow \Box\Diamond p$

S5 ist sowohl stärker als S4 als auch als B. Man beachte, dass das Axiomenschema 4 unter einer temporalen Deutung gültig ist, nicht jedoch 5: Wenn es zu einem Zeitpunkt in der Zukunft einen Zeitpunkt in der Zukunft gibt, zu dem p gilt, dann gibt es einen Zeitpunkt in der Zukunft, zu dem p gilt (4). Es stimmt aber nicht, dass, wenn es einen Zeitpunkt in der Zukunft gibt, zu dem p gilt, es für alle Zeitpunkte in der Zukunft, einen solchen Zeitpunkt gibt (5). S4, aber nicht S5 eignet sich also für eine temporale Deutung.

In S4 und S5 können Ketten von Modaloperatoren zu einem einzelnen Operator reduziert werden. In S4 ist dies jedoch nur erlaubt, wenn die Kette aus gleichen Operatoren besteht. Die Formel $\Diamond\Diamond\Diamond\Diamond p$ ist beispielsweise dort äquivalent mit $\Diamond p$ . In S5 kann man beliebige Ketten, also auch ungleichartige, reduzieren. Statt $\Box\Box\Diamond\Box\Diamond p$ kann man dort einfach schreiben $\Diamond p$ . In allen anderen erwähnten Modalsystemen ist keine Reduktion möglich.

Die zuletzt angsprochene Eigenschaft des Systems S5 macht es für viele Modallogiker zu dem geeignetsten für Modallogik im eigentlichen, strengen Sinn, also für die Analyse der Ausdrücke "möglich" und "notwendig". Der Grund liegt darin, dass wir einer wiederholten Anwendung dieser Ausdrücke auf eine Aussage, im Gegensatz zu einer einfachen Anwendung, intuitiv keinen wirklichen Sinn zuweisen können. Es ist beispielsweise schwer zu sagen, was "Es ist notwendig, dass es möglich ist, dass es regnet" heißen soll im Gegensatz zu einfach "Es ist möglich, dass es regnet". Aus dieser Perspektive ist es ein Vorteil von S5, dass es wiederholte Anwendungen der Operatoren auf einfache zurückführt, auf diese Weise kann mit jeder modallogischen Formel ein intuiver Sinn verbunden werden.

[Bearbeiten] Semantische Charakterisierung

Die formale Semantik der Modallogik bezeichnet man nach dem Logiker Saul Kripke oft als "Kripke-Semantik". Bei der Kripke-Semantik handelt es sich um die Formalisierung des intuitiven Begriffs der "möglichen Welt". Ein Kripke-Modell besteht aus einer Menge solcher Welten, einer Zugänglichkeitsrelation zwischen ihnen und einer Interpretationsfunktion, die jeder Aussagenvariablen in jeder einzelnen der Welten einen der Werte "wahr" oder "falsch" zuordnet.

Die Wahrheit einer Formel in einer möglichen Welt ist dann wie folgt definiert:

Aussagenvariablen sind wahr in einer Welt w, wenn die Interpretationsfunktion ihnen in w den Wert "wahr" zuweist.
$\neg p$ ist wahr in w, wenn p falsch ist, sonst falsch
$p \wedge q$ ist wahr in w, wenn p und q beide wahr sind, sonst falsch
$\Diamond p$ ist wahr in w, wenn es eine von w aus zugängliche Welt v gibt und p in v wahr ist, sonst falsch
$\Box p$ ist wahr in w, wenn für alle von w aus zugänglichen Welten v gilt, dass p in v wahr ist, sonst falsch

Hier lassen sich noch zusätzliche Klauseln für eventuelle weitere Junktoren oder Quantoren hinzufügen. Eine Formel ist gültig, wenn sie in allen Kripke-Modellen wahr ist. Die oben besprochenen verschiedenen Modalkalküle lassen sich nun über verschiedene Bedingungen an die Zugänglichkeitsrelation zwischen den Welten abbilden. Das System K entsteht, wenn an die Zugänglichkeitsrelation gar keine Bedingung geknüpft ist. Alle und nur die bei einer solchen beliebigen Zugänglichkeitsrelation gültigen Formeln sind also in K beweisbar. Um das System T zu erhalten, muss man die Forderung an die Zugänglichkeitsrelation aufstellen, dass jede Welt von sich selbst aus zugänglich sein soll, die Relation muss also reflexiv sein. Setzt man die Zugänglichkeitsrelation so fest, ergibt sich, dass die gültigen Formeln genau die im System T beweisbaren sind. Für das System D muss es in jeder Welt mindestens eine zugängliche geben, solche Relationen nennt man "seriell" (oder "linkstotal"). Für B wird neben Reflexivität Symmetrie gefordert, d.h. ist w von v aus zugänglich, so muss auch v von w aus zugänglich sein. In S4 ist die Zugänglichkeitsrelation reflexiv und transitiv, d.h. ist w von v aus zugänglich und v von u aus, so auch w von u aus. Für S5 schließlich muss die Zugänglichkeitsrelation zugleich reflexiv, symmetrisch und transitiv sein, d.h. es handelt sich um eine Äquivalenzrelation.

**Modalsysteme**
Name	Axiome	Zugänglichkeitsrelation
K	$\Box (p \rightarrow q)\rightarrow(\Box p \rightarrow \Box q)$	beliebig
T	K + $\Box p \rightarrow p$	reflexiv
D	K + $\Box p \rightarrow\Diamond p$	seriell: $\forall w\,\exists v\,(w\;R\;v)$
B	T + $p \rightarrow \Box\Diamond p$	reflexiv und symmetrisch
S4	T + $\Box p \rightarrow\Box\Box p$	reflexiv und transitiv
S5	T + $\Diamond p \rightarrow\Box\Diamond p$	reflexiv, transitiv und symmetrisch

[Bearbeiten] Zur Geschichte der Modallogik

Die frühesten formalen Ansätze zu einer Modallogik finden sich bereits bei Aristoteles in der ersten Analytik. Dort werden zu jedem kategorischen Syllogismus auch die modallogischen Varianten untersucht. Im Mittelalter untersucht u.a. Duns Scotus modallogische Begriffe. Gottfried Wilhelm Leibniz prägt den Ausdruck „mögliche Welt“, der für die Entwicklung der modallogischen Modelltheorie bedeutsam geworden ist.

Die ersten modallogischen Kalküle in moderner Präsentationsform finden sich in Clarence Irving Lewis Werken A Survey of Symbolic Logic (1918) und in der zusammen mit C. H. Langford verfassten Symbolic Logic (1932). In letzterem präsentieren die Autoren fünf Systeme (S1 bis S5), bei denen sie sich nicht entscheiden wollen, welches davon die Prinzipien modallogischen Folgerns am besten ausdrückt. Im Jahr 1933 zeigt Kurt Gödel eine enge Verbindung zwischen dem System S4 und der intuitionistischen Logik auf. Rudolf Carnaps Buch Meaning and Necessity (1947) stellt den Versuch dar, den Begriff der Intension mit modallogischen Mitteln zu rekonstruieren. Carnap greift dabei Leibniz' Begriff der möglichen Welt wieder auf. 1959 entwickelt Saul Kripke eine Semantik für verschiedene modallogische Systeme.

[Bearbeiten] Siehe auch

Kontingenz (Philosophie)

[Bearbeiten] Literatur

Hughes G.E., Cresswell Max J. Einführung in die Modallogik, De Gruyter 1978 ISBN 3110046091 das Standardwerk zur Einführung
Konyndyk, Kenneth: Introductory Modal Logic, University of Notre Dame Press 1986 ISBN 0268011591 in englischer Sprache, verwendet einfach zu erlernende Kalküle des natürlichen Schließens

[Bearbeiten] Weblinks

Eintrag (englisch) in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (inkl. Literaturangaben)

Von „http://de.wikipedia.org../../../m/o/d/Modallogik.html“

Kategorien: Logik | Sprachphilosophie