Ableitung (Logik)

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Unter einer Ableitung oder Herleitung versteht man in der mathematischen Logik eine formale Folgerung von (neuen) Aussagen aus einer Menge von gegebenen Aussagen. Die zulässigen Schlussregeln sind in einem Kalkül definiert.

Die einfache Anwendung einer solchen Regel auf Aussagen nennt man einen Ableitungsschritt.

Eine Aussage $φ$ heißt ableitbar oder beweisbar aus einer gegebenen Menge $Θ$ von Aussagen, wenn sie durch eine endliche Folge von Ableitungsschritten erreicht werden kann, wobei man von einer (ggf. leeren) Aussagenmenge $Θ$ , den Prämissen oder Annahmen, ausgeht.

Fügt man alle ableitbaren Aussagen zur Aussagenmenge hinzu (man sagt, man bildet den deduktiven Abschluss), so erhält man eine Theorie.

Beispiel (vgl. Aussagenlogik):

$\Theta \quad = \quad \{ \phi, \psi, \zeta \}$

sei als Aussagenmenge gegeben und eine Ableitungsregel des Kalküls sei

$\phi \qquad \psi \over \phi \wedge \psi$ ,

so kann z. B. $\phi \wedge \psi$ und $\zeta \wedge \psi \wedge \phi$ abgeleitet werden.

Bei der Ableitbarkeitsrelation (bzw. dem Ableitbarkeitsbegriff) handelt es sich um eine Relation zwischen einer Menge von Aussagen, den Prämissen, und einer einzelnen Aussage, der Konklusion. Für die Ableitbarkeit wird oft das Symbol $\vdash$ verwendet. $\Theta \vdash \phi$ ist dabei zu lesen als: "aus $Θ$ ist $φ$ ableitbar". Führen wir obiges Beispiel fort, so können wir schreiben:

$\{ \phi, \psi, \zeta \} \vdash \phi$ , $\{ \phi, \psi, \zeta \} \vdash \psi$ , $\{ \phi, \psi, \zeta \} \vdash \zeta$ , $\{ \phi, \psi, \zeta \} \vdash \phi \wedge \phi$ , $\{ \phi, \psi, \zeta \} \vdash \phi \wedge \psi$ , $\{ \phi, \psi, \zeta \} \vdash \phi \wedge \zeta$ , $\{ \phi, \psi, \zeta \} \vdash \psi \wedge \phi$ , $\{ \phi, \psi, \zeta \} \vdash \psi \wedge \psi$ usw.

Unterschiedliche Logiken definieren jeweils einen unterschiedlichen Ableitbarkeitsbegriff. So gibt es einen aussagenlogischen Ableitbarkeitsbegriff, einen prädikatenlogischen, einen Intuitionistischen, einen modallogischen usw.

Obwohl es also unterschiedliche Ableitbarkeitsrelationen gibt, gibt es doch eine Reihe von Eigenschaften, die den meisten Ableitbarkeitsrelationen (zumindest den obengenannten) gemeinsam sind

Inklusion: $\Gamma \cup \{\mathrm{A}\}\vdash \mathrm{A}$ (Jede Annahme ist auch eine Folgerung).
Idempotenz: Wenn $\Gamma \vdash \mathrm{A}$ und $\Gamma \cup \{\mathrm{A}\} \vdash \mathrm{B}$ , dann $\Gamma \vdash \mathrm{B}$ (Durch Hinzunahme von Folgerungen zu den Annahmen erhält man keine neuen Folgerungen.)
Monotonie: Wenn $\Gamma \vdash \mathrm{A}$ , dann $\Gamma \cup \Delta \vdash \mathrm{A}$ (Hinzufügen von Annahmen erhält die bisher möglichen Folgerungen.)
Kompaktheit; Wenn $\Gamma \vdash \mathrm{A}$ , dann gibt es eine endliche Menge $Δ$ mit $\Delta \subseteq \Gamma$ , so dass $\Delta \vdash \mathrm{A}$ . (Jede Folgerung aus einer unendlichen Annahmenmenge ist bereits aus einer endlichen Teilmenge zu erreichen.)