Lissajous-Figur

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Lissajous-Figuren sind Kurvengraphen, die durch Überlagerung harmonischer Schwingungen entstehen. Sie sind benannt nach ihrem Entdecker, dem französischen Physiker Jules Antoine Lissajous (1822 – 1880). In jüngerer Zeit spielten sie zum Beispiel bei der Untersuchung von Wechselströmen mit Hilfe des Oszilloskops eine Rolle.

Inhaltsverzeichnis

1 Mathematische Beschreibung
2 Bilder
3 Lissajous-Figuren im Oszilloskop
4 Erzeugung mechanischer Lissajous-Figuren
5 Weblinks

[Bearbeiten] Mathematische Beschreibung

Mathematisch handelt es sich um parametrische Schaubilder von Funktionen der Form

$t \mapsto \left(\begin{matrix} A_x \sin(\omega_1 t+\phi_1) \\ A_y \sin(\omega_2 t+\phi_2) \end{matrix}\right), \quad\quad t \in [0,\infty).$

Diese Funktionen sind genau dann periodisch, wenn das Frequenzverhältnis

$v={ \omega_1 \over \omega_2}$

rational ist. Dann schließt sich die Kurve bereits bei endlichem t, man erhält eine geschlossene Figur. Andernfalls füllt die Kurve das Rechteck $[-A_x,A_x] \times [-A_y,A_y]$ für $t\to\infty$ komplett aus.

Die Amplituden A_x und A_y skalieren die Figuren lediglich horizontal beziehungsweise vertikal. Ansonsten hängt das Erscheinungsbild der Graphen nur noch vom Frequenzverhältnis v und der Phasendifferenz φ=φ₁ - φ₂ ab.

[Bearbeiten] Bilder

Die folgende Tabelle zeigt einige der einfachsten Lissajous-Figuren. Dabei wird der Einfachheit halber A_x=A_y angenommen.

v	φ=0	φ=π/4	φ=π/2
1:1
1:2
1:3
2:3
3:4
3:5

[Bearbeiten] Lissajous-Figuren im Oszilloskop

Lissajous-Figur auf einem Oszilloskop

Bei der Arbeit mit dem Oszilloskop erhält man Lissajous-Figuren, wenn man bei abgeschalteter Zeitablenkung sowohl an den Eingang für die y- als auch für die x-Ablenkung eine harmonische Wechselspannung anlegt.

Die Form der Figuren erlaubt genaue Rückschlüsse auf Frequenz und Phasenlage der beiden Spannungen. Bei gleichen Frequenzen (v = 1:1) kann man an der elliptischen Figur die Phasendifferenz ablesen. Bei zwei fast gleichen Frequenzen (oder einem Frequenzverhältnis, das sehr nahe an einem der einfachen rationalen Verhältnisse liegt) zeigt der Schirm des Oszilloskops eine zwar geschlossene, aber sich zeitlich verändernde Figur. So kann man mit hoher Empfindlichkeit kleine Frequenzunterschiede messen.

Deshalb waren Lissajous-Figuren beispielsweise in der Werkstatt von Fernseh- und Röhrentechnikern ein alltägliches Bild. Andererseits wirken sie in ihrer Vielfalt besonders (aber nicht nur) auf den technischen Laien äußerst faszinierend, gerade in der leicht animierten Form. Deshalb wurden in Filmkunst und Fernsehen auch häufig Monitore im Bühnenbild mit Lissajous-Figuren dekoriert, wenn eine Umgebung sehr modern oder futuristisch wirken sollte, etwa in Science-Fiction-Filmen und -Serien.

[Bearbeiten] Erzeugung mechanischer Lissajous-Figuren

Man druckt eine Sinuskurve so auf eine transparente Folie, dass man eine ganzzahlige Anzahl an Perioden hat, und Nullpunkt, Berg oder Tal an beiden Seiten der Folie identisch sind. Im Zweifelsfalle die Folie etwas zurecht schneiden. Dann klebt man die beiden Seiten der Folie zusammen, so dass man einen transparenten Zylinder erhält. Wer mehr Geschick hat, kann auch einen Glaszylinder per Hand bemalen. Durch Drehen des Zylinders bekommt man, beim seitlichen Durchsehen durch den Zyinder, die verschiedenen Ansichten der jeweiligen Lissajous-Figur.

Problematisch ist das Erzeugen solcher Lissajous-Figuren bei gebrochenen Zahlenverhältnissen wie 2:3 oder 3:5, da sich die Sinusfunktion überlappt.