利萨茹曲线
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数学上，利萨茹(Lissajous)曲线（又称利萨茹图形或鲍迪奇(Bowditch)曲线）是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹。
纳撒尼尔·鲍迪奇在1815年首先研究这一族曲线，朱尔·利萨茹在1857年作更详细研究。
[编辑] 数学定义
利萨茹曲线由以下参数方程定义：
其中
，
。
n称为曲线的参数，是两个正弦振动的频率比。若比例为有理数，则
，参数方程可以写作:
，
其中
。
[编辑] 性质
- 若n为无理数，曲线在长方形
![[-a,a]\times[-b,b]](../../../math/f/d/f/fdf52692b1ab0250dcbfe3ec7ee70ca1.png)
中稠密。 - 若n为有理数，
- 曲线是2q次代数曲线若
![\phi \in \left(0,\frac{\pi}{2p} \right]](../../../math/6/3/4/634426a2c1ddf779280148ef9d654850.png)
对奇数p，或
对偶数p。 - 曲线是q次代数曲线的一部份若
对奇数p，或 
对偶数p。
- 曲线是2q次代数曲线若
- 若n为偶数而
，或若n为奇数而，则曲线是第n个切比雪夫多项式Tn的曲线的一部份。
[编辑] 特别情况
- 若a = b，n = 1，则曲线是椭圆。
- 若，则这椭圆其实是圆。
- 若，则这椭圆其实是线段。
- 若
- 若a = b，n = q = 2 (所以p = 1)，则曲线是besace。
- 若，则这besace是拋物线一部份。
- 若，则这besace是一个热罗诺双纽线。
- 若
以下是利萨茹曲线的例子，其中φ = 0，a = b, p是奇数，q是偶数， | p − q | = 1。
 p = 1, q = 2 |
 p = 3, q = 2 |
 p = 3, q = 4 |
 p = 5, q = 4 |
 p = 5, q = 6 |
 p = 9, q = 8 |
