Elastizitätsmodul

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Der Elastizitätsmodul (auch: Zugmodul oder Youngscher Modul, benannt nach dem Physiker Thomas Young) ist ein Materialkennwert aus der Werkstofftechnik, der den Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung bei der Verformung eines festen Körpers bei linear elastischem Verhalten beschreibt. Der Elastizitätsmodul wird mit E-Modul oder als Formelzeichen mit E abgekürzt. Die Mehrzahl von Elastizitätsmodul ist Elastizitätsmoduln. Anschaulich formuliert, ist der Elastizitätsmodul diejenige Zugspannung, welche die Länge eines aus dem zugehörigen Material gefertigten Stabes unter einer Zugkraft elastisch verdoppeln würde.

Der Betrag des Elastizitätsmoduls ist um so größer, je mehr Widerstand ein Material seiner Verformung entgegensetzt. Ein Material mit hohem Elastizitätsmodul ist also steif, ein Material mit niedrigem Elastizitätsmodul ist nachgiebig.

Der Elastizitätsmodul ist die Proportionalitätskonstante im Hookeschen Gesetz. Bei kristallinen Materialien ist der Elastizitätsmodul grundsätzlich richtungsabhängig. Sobald ein Werkstoff eine kristallographische Textur hat, ist der Elastizitätsmodul also anisotrop.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Beispiele
- 2.1 Anwendung
- 2.2 Zahlenwerte
3 Siehe auch
4 Weblink

[Bearbeiten] Definition

Der Elastizitätsmodul ist als Steigung des Graphen im Spannungs-Dehnungs-Diagramm bei einachsiger Belastung innerhalb des linearen Elastizitätsbereichs definiert.

$E=\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\epsilon}=\mathrm{const.}$

Dabei bezeichnet $σ$ die mechanische Spannung (Normalspannung, nicht Schubspannung) und $ε$ die Dehnung. Die Dehnung ist das Verhältnis von Längenänderung zur ursprünglichen Länge. Die Einheit des Elastizitätsmoduls ist die einer Spannung:

E in $\mathrm{\frac{N}{mm^2}}$ , in SI-Einheiten: E in $\mathrm{\frac{N}{m^2}}$ (Pascal)

Der Elastizitätsmodul wird als Materialkonstante bezeichnet, da mit ihm und den Querkontraktionszahlen das Elastizitätsgesetz aufgestellt wird. Der Elastizitätsmodul ist aber nicht bezüglich aller physikalischen Größen konstant. Er hängt von verschiedenen Umgebungsbedingungen wie z.B. Temperatur, Feuchte oder der Verformungsgeschwindigkeit ab.

Hinweis: Der Elastizitätsmodul hat keinen Bezug zur Härte.

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Anwendung

Bei ideal linear elastischem Werkstoffgesetz (Proportionalitätsbereich im Spannungs-Dehnungs-Diagramm) ergibt sich die Federkonstante D eines geraden Stabes aus seiner Querschnittsfläche A, seiner Länge L und seinem Elastizitätsmodul E.

$D=\frac{F}{s}=\frac{E \cdot A}{L}$

Drückt man die Kraft F durch die Spannung aus $F=A\cdot\sigma$ und die Längenänderung s durch die Dehnung $s=\epsilon\cdot L$ , so erhält man das Hookesche Gesetz.

$E=\frac{\sigma}{\epsilon}$

Anschaulich kann man sich den Elastizitätsmodul als diejenige Normalspannung vorstellen, die das Material auf seine doppelte Länge dehnt.

In der klassischen Feldtheorie kommt das Elastizitätsmodul als Faktor in die Lagrange-Dichte bei der Beschreibung schwingender Saiten hinzu; für diese gilt

$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \left[\mu \left(\frac{\partial \eta}{\partial t}\right)^2 - E \left(\frac{\partial \eta}{\partial x} \right)^2 \right]$ .

Aus ihr erhält man die Bewegungsgleichung einer schwingenden Saite.

[Bearbeiten] Zahlenwerte

Metallische Werkstoffe bei 20°C		Nichtmetallische Werkstoffe bei 20°C
Material	E-Modul in kN/mm²	Material	E-Modul in kN/mm²
Ferritischer Stahl	210	Holz parallel zur Faser	7 bis 20
Austenitischer Stahl	195	Holz quer zur Faser	0,23 bis 1,33
Aluminium	70	CFK parallel zur Faser	150
Kupfer	120	CFK quer zur Faser	13
Messing	78 bis 123	Beton	22 bis 45
Grauguss	90 bis 155	Silikonkautschuk	0,01 bis 0,1
Sphäroguss	170 bis 185	Glas	50 bis 90
Titan	105	Glasfaser	55 bis 87
Magnesium	42	Knochen	18 bis 21
Blei	5

Bei flächigen Bauteilen wird mit Flüssen an Stelle von Spannungen gerechnet $n_i=t\cdot\sigma_i$ . Daher setzt man hier einen dickenbezogenen Elastizitätsmodul ein, was einer Steifigkeit entspricht. Diese Größe hat die Einheit $\mathrm{\frac{N}{mm}}$ .