Dreiecksmatrix

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Unter einer Dreiecksmatrix versteht man in der Mathematik eine quadratische Matrix, die sich dadurch auszeichnet, dass alle Einträge unterhalb (obere Dreiecksmatrix) bzw. oberhalb (untere Dreiecksmatrix) der Hauptdiagonale null sind. Sind zusätzlich die Einträge auf der Hauptdiagonale alle null, so spricht man von einer echten oder strikten Dreiecksmatrix.

Dreiecksmatrizen spielen u.a. beim Lösen von Linearen Gleichungssystemen mittels der LU-Zerlegung eine wichtige Rolle, welche darauf basiert, eine Matrix in das Produkt einer oberen und einer unteren Dreiecksmatrix zu zerlegen.

Inhaltsverzeichnis

1 Obere Dreiecksmatrix
- 1.1 Definition
- 1.2 Beispiele
2 Strikte obere Dreiecksmatrix
- 2.1 Nilpotente obere Dreiecksmatrizen
- 2.2 Unipotente obere Dreiecksmatrizen
3 Untere Dreiecksmatrix
- 3.1 Definition
- 3.2 Beispiele
4 Strikte untere Dreiecksmatrix
5 Eigenschaften
- 5.1 Algebraische Eigenschaften

[Bearbeiten] Obere Dreiecksmatrix

[Bearbeiten] Definition

Bei einer oberen Dreiecksmatrix sind alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonale der Matrix $0$ . Für die Einträge auf der Hauptdiagonale selbst gibt es keine Beschränkungen.

Für eine obere Dreiecksmatrix gilt somit:

$i > j \, \Rightarrow \, a_{ij} = 0$

[Bearbeiten] Beispiele

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 12 & 21 & 14 \\ 0 & 13 & 23 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$

[Bearbeiten] Strikte obere Dreiecksmatrix

Es gibt zwei verschiedene Definitionen für den Begriff strikte obere Dreiecksmatrix, je nachdem, ob man sich für alle Matrizen oder nur für invertierbare Matrizen interessiert. Erstere sind nilpotent, letztere unipotent.

[Bearbeiten] Nilpotente obere Dreiecksmatrizen

Bei einer strikten oberen Dreiecksmatrix in diesem Sinne sind alle Einträge sowohl unterhalb als auch auf der Hauptdiagonale der Matrix $0$ . Es gilt somit:

$i \geq j \, \Rightarrow \, a_{ij} = 0$

[Bearbeiten] Unipotente obere Dreiecksmatrizen

Bei einer strikten oberen Dreiecksmatrix im Sinne invertierbarer Matrizen sind alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonale der Matrix $0$ , während die Diagonaleinträge alle gleich 1 sind. Es gilt somit:

$i > j \, \Rightarrow \, a_{ij} = 0$

$i = j \, \Rightarrow \, a_{ij} = 1$

Eine derartige Matrix $A$ ist unipotent, d. h. die Matrix $A - I$ ist nilpotent, es gibt also eine Zahl $n$ , so dass

(A - I) n = 0

gilt.

[Bearbeiten] Untere Dreiecksmatrix

[Bearbeiten] Definition

Bei einer unteren Dreiecksmatrix sind alle Einträge oberhalb der Hauptdiagonale der Matrix $0$ . Für die Einträge auf der Hauptdiagonale selbst gibt es keine Beschränkungen.

Für eine untere Dreiecksmatrix gilt somit:

$i < j \, \Rightarrow \, a_{ij} = 0$

[Bearbeiten] Beispiele

$\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 33 & 0 & 0 \\ 12 & 54 & 0 \\ 13 & 23 & 0 \\ \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 0 \\ 9 & 7 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

[Bearbeiten] Strikte untere Dreiecksmatrix

Für den Begriff der strikten unteren Dreiecksmatrix gibt es die zu den strikten oberen Dreiecksmatrizen analogen zwei Definitionen.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Es lässt sich beweisen:

Das Produkt von unteren (oberen) Dreiecksmatrizen ist wieder eine untere (obere) Dreiecksmatrix.
Das Produkt von strikten unteren (oberen) Dreiecksmatrizen ist wieder eine strikte untere (obere) Dreiecksmatrix.
Die Inverse einer invertierbaren unteren (oberen) Dreiecksmatrix ist eine untere (obere) Dreiecksmatrix.
Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Hauptdiagonalelemente.

[Bearbeiten] Algebraische Eigenschaften

Die Menge aller oberen Dreiecksmatrizen bildet eine auflösbare Liealgebra, die Menge aller nilpotenten oberen Dreiecksmatrizen eine nilpotente Liealgebra.
Die Menge aller invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen bildet eine auflösbare Gruppe, die Menge aller unipotenten oberen Dreiecksmatrizen eine nilpotente Gruppe.
Die Anzahl der Elemente einer Dreiecksmatrix, die von Null verschieden sein können, ist $N(N+1)\over2$ ; dies ist auch die Dimension als Liegruppe oder algebraische Gruppe.