Nilpotente Gruppe

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Nilpotente Gruppe ist ein Begriff aus dem Bereich der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik.

[Bearbeiten] Definition

Sei G eine Gruppe. Wir schreiben zur Abkürzung [x,y]: = x * y * x ^{− 1} * y ^{− 1} für .

G heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, so dass

[[[...[x₀,x₁],x₂],x₃],...,x_n] = 1

für alle gilt.

(n heißt Nilpotenzgrad von G).

[Bearbeiten] Eigenschaften

• Jede Untergruppe und jedes homomorphe Bild einer nilpotenten Gruppe ist nilpotent.
• Das direkte Produkt nilpotenter Gruppen ist nilpotent, falls die Nilpotenzgrade der Faktoren beschränkt sind.
• Jede nilpotente Gruppe ist auflösbar.

[Bearbeiten] Beispiele

• Eine Gruppe ist genau dann nilpotent vom Nilpotenzgrad 1, wenn sie abelsch ist.

• Es sei K ein Körper und n eine natürliche Zahl. Die Menge der n×n-Matrizen der Form

(dabei stehen die Sterne für beliebige Elemente von K)

ist eine Untergruppe der Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen, die Gruppe der strikten oberen Dreiecksmatrizen. Sie ist nilpotent mit Nilpotenzgrad n − 1.
Im Spezialfall n = 3, trägt diese Gruppe auch den Namen Heisenberggruppe.