Nilpotente Matrix
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Die nilpotente Matrix und der nilpotente Endomorphismus sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Dabei bezeichnet man eine quadratische Matrix als nilpotent, wenn eine ihrer Potenzen die Nullmatrix ergibt:
- An = 0 für ein
Entsprechend bezeichnet man einen Vektorraum-Endomorphismus f als nilpotent, wenn es eine Zahl gibt, sodass fn die Nullabbildung ist.
Ein Beispiel für eine nilpotente Matrix ist die Matrix
Zwischen nilpotenten Matrizen und nilpotenten Endomorphismen gibt es einen Zusammenhang: die nilpotenten Matrizen sind die Darstellungsmatrizen der nilpotenten Endomorphismen.
[Bearbeiten] Äquivalente Definitionen
Zu der Aussage, dass A nilpotent mit dem Nilpotenzgrad n ist, sind folgende Aussagen äquivalent:
- An = 0 und
. - das charakteristische Polynom von A hat die Form χA(λ) = λn.
- A ist ähnlich zu einer echten oberen Dreiecksmatrix:
[Bearbeiten] Eigenschaften nilpotenter Matrizen
Wenn eine Matrix A nilpotent ist, wobei n die kleinste natürliche Zahl mit An = 0 ist, dann...
- ist jeder Eigenwert selbst nilpotent: Aus Av = λv folgt 0 = Anv = λnv, und wegen
ist λn = 0. Für Matrizen über den reellen oder komplexen Zahlen folgt daraus, dass die Matrix nur den Eigenwert 0 haben kann. - hat sie einen Eigenwert Null: Da gibt es einen Vektor mit
. Dann ist Aw = Anv = 0 und w ist Eigenvektor zum Eigenwert 0. - ist sie nicht invertierbar, da einer ihrer Eigenwerte Null ist.
- ist die Determinante Null: det(A) = 0.
- ist die Spur Null.
- hat sie keinen vollen Rang, d.h. ihre Spaltenvektoren sind linear abhängig. Es sind jedoch nicht alle quadratischen Matrizen mit linear abhängigen Spalten auch gleichzeitig nilpotent.
- ist (E − A) immer invertierbar (E ist die Einheitsmatrix): Es ist (E − A)(E + A + A2 + ... + An − 1) = E − An = E.
Da eine nilpotente Matrix ein Spezialfall eines nilpotenten Elements eines Ringes ist, gelten die im Artikel Nilpotenz gegebenen allgemeinen Aussagen auch hier.
