Differentialform

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten (Unterschied zur vorletzten Version).

Der Begriff Differentialform präzisiert und verallgemeinert das aus der Analysis bekannte Leibnizsche Differential und den aus der Vektoranalysis bekannten Gradienten. Differentialformen sind ein grundlegenes Konzept der Differentialgeometrie.

Inhaltsverzeichnis

1 Kontext
2 Definition
3 Äußere Ableitung
4 Koordinatendarstellung
5 Exakte und geschlossene Formen; de-Rham-Kohomologie
6 Orientierung
7 Integral von Differentialformen
8 Satz von Stokes
9 Zurückziehen ("pull-back") von Differentialformen
10 Siehe auch
11 Buchtipp

[Bearbeiten] Kontext

Es sei $U$

eine offene Teilmenge des $\mathbb R^n$
oder allgemeiner ein offener Teil einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit des $\mathbb R^n$
oder allgemein ein offener Teil einer (abstrakten) differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

In jedem dieser Fälle gibt es

den Begriff der differenzierbaren Funktion auf $U$ ; der Raum der differenzierbaren Funktionen auf $U$ werde mit $C^\infty(U)$ bezeichnet;
den Begriff des Tangentialraums $T p U$ an $U$ in einem Punkt $p\in U$ ;
den Begriff der Richtungsableitung $X f$ für einen Tangentialvektor $X\in\mathrm T_pU$ und eine differenzierbare Funktion $f$ ;
den Begriff des differenzierbaren Vektorfeldes auf $U$ ; der Raum der Vektorfelder auf $U$ sei mit $ΓT U$ bezeichnet.

Der Dualraum des Tangentialraums $T p U$ wird als Kotangentialraum $\mathrm T^*_pU$ bezeichnet.

[Bearbeiten] Definition

Eine k-Form oder Differentialform vom Grad k ist eine alternierende $C^\infty(U)$ -multilineare Abbildung $\omega\colon(\Gamma\mathrm TU)^k\to C^\infty(U)$ .

Das bedeutet: $ω$ ordnet $k$ Vektorfeldern $X_1,\ldots,X_k$ eine Funktion $\omega(X_1,\ldots,X_k)$ zu, so dass

$\omega(X_1,\ldots,X'_i+X''_i,\ldots,X_k)=\omega(X_1,\ldots,X'_i,\ldots,X_k)+\omega(X_1,\ldots,X''_i,\ldots,X_k)$
$\omega(X_1,\ldots,f\cdot X_i,\ldots,X_k)=f\cdot\omega(X_1,\ldots,X_i,\ldots,X_k)$ für $f\in C^\infty(U),1\leq i\leq k$

und

$\omega(X_1,\ldots,X_i,\ldots,X_j,\ldots,X_k)=-\omega(X_1,\ldots,X_j,\ldots,X_i,\ldots,X_k)$ ,

d.h. vertauscht man zwei der Argumente von $ω$ , so erhält man das Negative des ursprünglichen Wertes.

Alternativ dazu ordnet $ω$ jedem Punkt $p\in U$ eine alternierende $\mathbb R$ -multilineare Abbildung

$\omega_p\colon(\mathrm T_pU)^k\to\mathbb R$

zu, so dass für $k$ Vektorfelder $X_1,\ldots,X_k$ die Funktion

$p\mapsto\omega_p((X_1)_p,\ldots,(X_k)_p)\in\mathbb R$

differenzierbar ist.

0-Formen sind differenzierbare Funktionen, und 1-Formen sind pfaffsche Formen.

Die Menge der $k$ -Formen auf $U$ wird mit $Ω k (U)$ bezeichnet. Ist $k>\dim U$ , so ist $Ω k (U) = 0$ .

Man kann $ω p$ als Element der äußeren Potenz ${\bigwedge\!}^k\,\mathrm T^*_pU$ auffassen; infolgedessen definiert das äußere Produkt (d.h. das Produkt $\wedge$ in der äußeren Algebra) Abbildungen

$\Omega^k(U)\times\Omega^\ell(U)\to\Omega^{k+\ell}(U),\quad(\omega,\eta)\mapsto\omega\wedge\eta,$

wobei $\omega\wedge\eta$ punktweise definiert ist:

$(\omega\wedge\eta)_p=\omega_p\wedge\eta_p.$

Dieses Produkt ist graduiert-kommutativ, d.h.

$\omega\wedge\eta=(-1)^{\deg\omega\cdot\deg\eta}\cdot\eta\wedge\omega;$

dabei bezeichnet $degω$ den Grad von $ω$ , d.h. ist $ω$ eine $k$ -Form, so ist $degω = k$ .

[Bearbeiten] Äußere Ableitung

Die äußere Ableitung oder Cartan-Ableitung $dω$ einer $k$ -Form $ω$ wird induktiv mithilfe der Lie-Ableitung und der Cartan-Formel

$\mathcal L_X=i_X\circ\mathrm d+\mathrm d\circ i_X$

definiert; dabei ist $X$ ein Vektorfeld, $\mathcal L_X$ die Lie-Ableitung und $i X$ die Einsetzung von $X$ .

Ist beispielsweise $ω$ eine 1-Form, so ist

$(\mathcal L_X\omega)(Y)=\mathcal L_X(\omega(Y))-\omega(\mathcal L_X(Y))=X\omega(Y)-\omega([X,Y])$

und

$((\mathrm d\circ i_X)\omega)(Y)=(\mathrm d(\omega(X)))(Y)=Y\omega(X),$

also

dω(X, Y) = X ω(Y) - Y ω(X) - ω([X, Y])

für Vektorfelder $X, Y$ ; dabei bezeichnet $[X, Y]$ die Lie-Klammer.

Die allgemeine Formel lautet

$\mathrm d\omega(X_1,\ldots,X_{k+1})=\sum_{i=1}^{k+1}(-1)^{i+1} X_i\omega(X_1,...,\hat X_i,...,X_k)+{}$

${}+\sum_{i<j}(-1)^{i+j}\omega([X_i,X_j],X_1,...,\hat X_i,...,\hat X_j,...,X_k);$

dabei bedeutet $\hat X_i$ , dass das entsprechende Argument wegzulassen ist.

Die äußere Ableitung hat folgende Eigenschaften:

$d$ ist $\mathbb R$ -linear.
$\mathrm d(\omega\wedge\eta)=\mathrm d\omega\wedge\eta+(-1)^{\deg\omega}\omega\wedge\mathrm d\eta;$ dabei bezeichnet $degω$ den Grad von $ω$ , d.h. ist $ω$ eine $k$ -Form, so ist $degω = k$ .
$ddω = 0$
Für eine Funktion $f$ , aufgefasst als 0-Form, stimmt die äußere Ableitung mit dem totalen Differential überein.

[Bearbeiten] Koordinatendarstellung

Ist $\{x_1,\ldots,x_n\}$ ein Koordinatensystem auf $U$ , so folgt aus den Eigenschaften der äußeren Algebra, dass eine lokale Basis der $k$ -Formen durch

$\{\mathrm dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_{i_k}\mid i_1<\ldots<i_k\}$

gegeben ist, d.h. jede $k$ -Form $ω$ hat eine eindeutige Darstellung der Form

$\omega=\sum_{1\leq i_1<\ldots<i_k\leq n}a_{i_1,\ldots,i_k}\cdot\mathrm dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_{i_k}$

mit geeigneten differenzierbaren Funktionen $a_{i_1,\ldots,i_k}$ . An dieser Darstellung ist auch abzulesen, dass für $k > n$ die Nullform $ω = 0$ die einzige $k$ -Form ist.

Die äußere Ableitung ist in dieser Darstellung durch die Formel

$\mathrm d\omega=\sum_{1\leq i_1<\ldots<i_k\leq n}\mathrm da_{i_1,\ldots,i_k}\wedge\mathrm dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_{i_k}$

gegeben.

Um die dabei entstehenden Ausdrücke wieder durch die Standardbasis auszudrücken, sind die Relationen

$\mathrm dx_i\wedge\mathrm dx_j=-\mathrm dx_j\wedge\mathrm dx_i$

und

$\mathrm dx_i\wedge\mathrm dx_i=0$

wichtig; beispielsweise ist für $n = 2$

$\mathrm d(f_1\cdot\mathrm dx_1+f_2\cdot\mathrm dx_2)$

${}=\mathrm df_1\wedge\mathrm dx_1+\mathrm df_2\wedge\mathrm dx_2$

${}=\frac{\partial f_1}{\partial x_1}\cdot\mathrm dx_1\wedge\mathrm dx_1 +\frac{\partial f_1}{\partial x_2}\cdot\mathrm dx_2\wedge\mathrm dx_1 +\frac{\partial f_2}{\partial x_1}\cdot\mathrm dx_1\wedge\mathrm dx_2 +\frac{\partial f_2}{\partial x_2}\cdot\mathrm dx_2\wedge\mathrm dx_2$

${}=\left(\frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_2}\right)\cdot\mathrm dx_1\wedge\mathrm dx_2.$

[Bearbeiten] Exakte und geschlossene Formen; de-Rham-Kohomologie

Eine $k$ -Form $ω$ heißt geschlossen, wenn $dω = 0$ gilt; sie heißt exakt, wenn es eine $(k - 1)$ -Form $η$ gibt, so dass $ω = dη$ gilt. Aufgrund der Formel $ddη = 0$ ist jede exakte Form geschlossen. Man beachte, dass Geschlossenheit im Gegensatz zu Exaktheit eine lokale Eigenschaft ist: Ist ${V α}$ eine offene Überdeckung von $U$ , so ist eine $k$ -Form $ω$ genau dann geschlossen, wenn die Einschränkung von $ω$ auf $V α$ für jedes $α$ geschlossen ist.

Der Faktorraum

{geschlossene

k

-Formen auf

U

}/{exakte

k

-Formen auf

U

}

heißt $k$ -te de-Rham-Kohomologiegruppe $\mathrm H^k_{\mathrm{dR}}(U)$ (nach Georges de Rham). Sie enthält Informationen über die globale topologische Struktur von $U$ .

Das Poincaré-Lemma (nach Henri Poincaré) besagt, dass

$\mathrm H^k_{\mathrm{dR}}(\mathbb R^n)=0$ für

k > 0

gilt, oder allgemeiner für zusammenziehbare offene Teilmengen des $\mathbb R^n$ . (Man beachte, dass $\mathrm H^0_{\mathrm{dR}}(U)$ aus den lokal konstanten Funktionen besteht, da es per definitionem keine exakten 0-Formen gibt. Es ist also $\mathrm H^0_{\mathrm{dR}}(U)\not=0$ für jedes $U\not=\varnothing$ .)

Ist $ω$ geschlossen und $η = dη'$ exakt, so folgt

$\omega\wedge\eta=\omega\wedge\mathrm d\eta'=(-1)^{\det\omega}\mathrm d(\omega\wedge\eta'),$

entsprechend falls $ω$ exakt und $η$ geschlossen ist. Damit gibt es induzierte Abbildungen

$\mathrm H^k_{\mathrm{dR}}(U)\times H^m_{\mathrm{dR}}(U)\longrightarrow\mathrm H^{k+m}_{\mathrm{dR}}(U).$

Siehe auch de-Rham-Kohomologie, Kokettenkomplex

[Bearbeiten] Orientierung

Ist $n=\dim U$ , so heißt eine $n$ -Form auf $U$ , die in keinem Punkt verschwindet, eine Orientierung auf $U$ . $U$ zusammen mit einer derartigen Form heißt orientiert. Eine Orientierung $ω$ definiert Orientierungen der Tangential- und Kotangentialräume: eine Basis $\eta_1,\ldots,\eta_n$ des Kotangentialraums in einem Punkt $p$ sei positiv orientiert, wenn

$\omega_p=a\cdot\eta_1\wedge\ldots\wedge\eta_n$

mit einer positiven Zahl $a$ gilt; eine Basis $X_1,\ldots,X_n$ des Tangentialraums in einem Punkt $p$ sei positiv orientiert, wenn

$\omega(X_1,\ldots,X_n)>0$

gilt.

Zwei Orientierungen heißen äquivalent, wenn sie sich um einen überall positiven Faktor unterscheiden; diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass sie auf jedem Tangential- oder Kotangentialraum dieselbe Orientierung definieren.

Ist $U$ zusammenhängend, so gibt es entweder bis auf Äquivalenz genau zwei oder gar keine Orientierungen.

$U$ heißt orientierbar, wenn eine Orientierung von $U$ existiert.

Siehe auch Orientierung (Mannigfaltigkeit)

[Bearbeiten] Integral von Differentialformen

Es sei wieder $n=\dim U$ , und wir nehmen an, auf $U$ sei eine Orientierung gewählt. Dann gibt es ein kanonisches Integral

∫	ω
U

für $n$ -Formen $ω$ . Ist $U\subseteq\mathbb R^n$ eine offene Teilmenge, $x_1,\ldots,x_n$ eine positiv orientierte Basis und

$\omega=f\cdot\mathrm dx_1\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_n,$

so ist

∫	ω =	∫	f;
U		U

das Integral auf der rechten Seite ist das gewöhnliche Lebesgue-Integral.

Aus dem Transformationssatz folgt, dass diese Definition unabhängig von Koordinatenwechseln ist.

Siehe auch Integral von Differentialformen

[Bearbeiten] Satz von Stokes

Ist $M$ eine kompakte orientierte $n$ -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$ , und versieht man $\partial M$ mit der induzierten Orientierung, so gilt für jede $(n - 1)$ -Form $ω$

$\int_M\mathrm d\omega=\int_{\partial M}\omega.$

Dieser Satz ist eine weitreichende Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

Ist $M$ geschlossen, d.h. hat $M$ keinen Rand, so folgt

∫	ω = 0
M

für jede exakte $n$ -Form $ω$ . Damit definiert das Integral eine Abbildung

$\mathrm H^n_{\mathrm{dR}}(M)\to\mathbb R.$

Ist $M$ zusammenhängend, so ist diese Abbildung ein Isomorphismus.

Siehe auch Satz von Stokes

[Bearbeiten] Zurückziehen ("pull-back") von Differentialformen

Ist $f\colon M \to N$ eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, so ist für $\omega \in \Omega^k(N)$ die mittels $f$ zurückgeholte Form $f^*\omega \in \Omega^k(M)$ wie folgt definiert: