De-Rham-Kohomologie

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Die de-Rham-Kohomologie ist eine Kohomologietheorie für differenzierbare Mannigfaltigkeiten.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Satz von de Rham
3 Geschichte
4 Anmerkungen
5 Literatur

[Bearbeiten] Definition

Die $k$ -te de-Rham-Kohomologiegruppe $\mathrm H^k_{\mathrm{dR}}(X)$ einer Mannigfaltigkeit $X$ ist definiert als die $k$ -te Kohomologie des de-Rham-Komplexes:

$0\longrightarrow C^\infty(X)=\Omega^0(X)\longrightarrow\Omega^1(X)\longrightarrow\Omega^2(X)\longrightarrow\ldots$

Dabei ist $Ω p (X)$ der Raum der (globalen) $p$ -Formen auf $X$ , die Abbildungen $\Omega^p(X)\to\Omega^{p+1}$ sind durch die äußere Ableitung gegeben.

Insbesondere gilt $\mathrm H^k_{\mathrm{dR}}(X)=0$ für $k>\dim X.$

[Bearbeiten] Satz von de Rham

Er besagt, dass die de-Rham-Kohomologie für kompakte orientierbare Mannigfaltigkeiten natürlich isomorph zur singulären Kohomologie mit Koeffizienten in den reellen Zahlen ist:

$\mathrm H^*_{\mathrm{sing}}(X,\mathbb R)\cong\mathrm H^*_{\mathrm{dR}}(X).$

[Bearbeiten] Geschichte

In seiner Pariser Dissertation (1931) bewies Georges de Rham mit seinem Satz eine Vermutung von Cartan, die ihrerseits auf Überlegungen von Poincaré zurückging. Da die Kohomologie eines topologischen Raumes erst einige Jahre später thematisiert wurde, arbeitete er tatsächlich mit der Homologie und dem (aufgrund des Satzes von Stokes) dualen Komplex der n-Ketten.

[Bearbeiten] Anmerkungen

Mathematical Subject Classification (2000) 58A12

[Bearbeiten] Literatur

Bott, Raoul; Tu, Loring W.: Differential forms in algebraic topology. – Berlin, 1982 (Graduate Texts in Mathematics; 82) ISBN 0-387-90613-4
Jänich, Klaus: Vektoranalysis. – Berlin, ⁵2005. ISBN 3-540-23741-0
Rham, Georges de: Sur l'analysis situs des variétés à n dimensions. J. Math. Pures Appl. (9) 10, 115–200 (1931)
Weil, André: Sur les théorèmes de de Rham. Comment. Math. Helv., 26, 119–145 (1952); Œuvres II, 17–43