Arkussinus und Arkuskosinus
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Arkussinus (geschrieben arcsin, asin oder sin-1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Sinusfunktion. Arkuskosinus (geschrieben arccos, acos oder cos-1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Kosinusfunktion. Beide Funktionen gehören damit zur Klasse der Arkusfunktionen.
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[Bearbeiten] Definition
Die Sinusfunktion ist 2π-periodisch. Daher muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, damit sie umkehrbar-eindeutig wird. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert), die Umkehrfunktion der Einschränkung betrachtet. In diesem Fall entsteht eine die bijektive Funktion mit
- .
Analog zum Arkussinus wird der Hauptwert des Arkuskosinus definiert als die Umkehrfunktion von cos | [0,π]. Diese Definition führt zur der bijektiven Funktion
- .
[Bearbeiten] Umrechnung
[Bearbeiten] Eigenschaften
-
Arkussinus Arkuskosinus Definitionsbereich Wertebereich Periodizität keine keine Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend Symmetrien Ungerade Funktion: Punktsymetrie zu
Asymptoten für für Nullstellen Sprungstellen keine keine Polstellen keine keine Extrema keine keine Wendepunkte
[Bearbeiten] Formeln für negative Argumente
Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:
[Bearbeiten] Reihenentwicklung
Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Anwenden des binomischen Lehrsatzes auf die Ableitung, sie ist gegeben durch:
- .
Die Taylorreihe des Arkuskosinus ist aufgrund der Beziehung :
[Bearbeiten] Umkehrfunktionen
-
Arkussinus: Sinusfunktion: Arkuskosinus: Kosinusfunktion:
[Bearbeiten] Ableitungen
Arkussinus:
Mit a = 1 und b = 0:
Arkuskosinus:
Mit a = 1 und b = 0:
Umrechnung:
[Bearbeiten] Integrale
Arkussinus:
Arkuskosinus:
[Bearbeiten] Anmerkungen
[Bearbeiten] Besondere Werte
[Bearbeiten] Weiterführendes
Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:
[Bearbeiten] Literatur
- Ilja Bronstein, Konstantin Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. ISBN 3-87144-492-8
[Bearbeiten] Siehe auch
Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens · Sekans Kosekans
Arkussinus · Arkuskosinus · Arkustangens · Arkuskotangens · Arkussekans · Arkuskosekans