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Sekans und Kosekans

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Sekans und Kosekans sind trigonometrische Funktionen.

Sekans:	$f(x) = \sec (x) \,$
Kosekans:	$f(x) = \csc (x) \,$

Inhaltsverzeichnis

1 Eigenschaften
2 Umkehrfunktionen
3 Reihenentwicklung
4 Ableitung
5 Integral
6 Siehe auch

Definition am Einheitskreis

Definition am Einheitskreis

Die Funktionen haben ihren Namen durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge von Sekantenabschnitten:

$\overline{OT} = \operatorname{sec}(b) \qquad\qquad \overline{OK} = \operatorname{csc}(b)$

Ein rechtwinkliges Dreieck

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sekans das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete und damit die Kehrwertfunktion der Kosinusfunktion.

Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete und damit die Kehrwertfunktion der Sinusfunktion:

$\sec (\alpha) = \frac{l_{\rm Hy}}{l_{\rm AK}} = \frac{c}{b} \qquad \qquad \csc (\alpha) = \frac{l_{\rm Hy}}{l_{\rm GK}} = \frac{c}{a}$

$\operatorname{sec}(x)=\frac{1}{\cos(x)} \qquad\qquad \csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}$

[Bearbeiten] Eigenschaften

[Bearbeiten] Verlauf

Graph der Sekansfunktion

Graph der Sekansfunktion

Graph der Kosekansfunktion

Graph der Kosekansfunktion

[Bearbeiten] Definitionsbereich

Sekans:	$-\infty < x < +\infty \quad ; \quad x \ne \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,;\,n\in\mathbb{Z}$
Kosekans:	$-\infty < x < +\infty \quad ; \quad x \ne n \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z}$

[Bearbeiten] Wertebereich

$-\infty < f(x) \le -1 \quad ; \quad 1 \le f(x) < +\infty$

[Bearbeiten] Periodizität

Periodenlänge $2 \cdot \pi \,:\, f(x+2\pi) = f(x)$

[Bearbeiten] Monotonie

streng monoton fallende und streng monoton steigende Abschnitte.

[Bearbeiten] Symmetrien

Sekans:	Gerade Funktion: $f (x) = f ( - x)$
Kosekans:	Ungerade Funktion: $f ( - x) = - f (x)$

[Bearbeiten] Polstellen

Sekans:	$x = \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,;\,n\in\mathbb{Z}$
Kosekans:	$x = n \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}$

[Bearbeiten] Extremwerte

Sekans:	Minima:	$x = \left( 2n + \frac{1}{2} \right) \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z}$	Maxima:	$x = \left( 2n - \frac{1}{2} \right) \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z}$
Kosekans:	Minima:	$x = 2n \cdot \pi \,;\, n \in \mathbb{Z}$	Maxima:	$x = (2n - 1) \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z}$

Weder die Sekansfunktion noch die Kosekansfunktion haben Asymptoten, Sprungstellen, Wendepunkte oder Nullstellen.

[Bearbeiten] Umkehrfunktionen

Sekans:

Auf einer halben Periodenlänge, z.B. $x \in [0 , \pi]$ ist die Funktion umkehrbar (Arkussekans):

$x = \operatorname{arcsec}(y)$

Kosekans

Auf einer halben Periodenlänge, z.B. $x \in \left[-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right]$ ist die Funktion umkehrbar (Arkuskosekans):

$x = \operatorname{arccsc}(y)$

[Bearbeiten] Reihenentwicklung

Sekans:

$\sec(x) = \pi \, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k(8k+4)} {(2k+1)^2 \pi^2 - 4 x^2 }$

Kosekans:

$\csc(x) = \frac{1}{x} - 2x \, \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k} {k^2\pi^2-x^2}$

[Bearbeiten] Ableitung

Sekans:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{sec}(x) = \operatorname{sec}(x) \cdot \tan(x) = \frac{\operatorname{sec}^2(x)}{\operatorname{csc}(x)}$

Kosekans

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{csc}(x) = - \operatorname{csc}(x) \cdot \cot(x) = \frac{\operatorname{csc}^2(x)}{\operatorname{sec}(x)}$

[Bearbeiten] Integral

Sekans:

$\int\operatorname{sec}(x)\operatorname{dx}=\ln\left(\frac{1+\sin(x)}{\cos(x)}\right)$

Kosekans

$\int\operatorname{csc}(x)\operatorname{dx}=\ln\left(\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}\right)$

[Bearbeiten] Siehe auch

Trigonometrische und Arkusfunktionen

Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens · Sekans Kosekans
Arkussinus · Arkuskosinus · Arkustangens · Arkuskotangens · Arkussekans · Arkuskosekans

Von „http://de.wikipedia.org../../../s/e/k/Sekans_und_Kosekans_2919.html“

Kategorien: Trigonometrie | Trigonometrische Funktion

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