Diskussion:Arkussinus und Arkuskosinus

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Zitat PeterBonn: "Das ' heißt doch Ableitung, könnte in einem mathematischen Artikel zu Missverständnissen führen"

Der Fall, dass das Apostroph hier mit einer Ableitung verwechselt werden könnte, wird wohl kaum eintreten. Allerdings darf gemäß der amtlichen Regelung zur deutschen Rechtschreibung, §96 (1), hier kein Apostroph gesetzt werden; das war mir nicht bewusst, als ich die falsche Zeichensetzung von den Original-Autoren bei der Überarbeitung übernommen habe. --Horrorist 13:30, 1. Nov 2005 (CET)

Bitte den Funktionsgraphen berichtigen! Senkrechte Tangenten für x=-1 und x=1

Ich habe jetzt sowohl für den arcsin als auch für den Arcus-Cosinus eine (hoffentlich) bessere Version hochgeladen. --Henning.H 11:21, 25. Sep 2004 (CEST)

Inhaltsverzeichnis

1 Taylor-Reihe
2 Zusammenführung: "Arkussinus" und "Arkuskosinus"
- 2.1 Versionsliste von Arkuskosinus
- 2.2 Definition

[Bearbeiten] Taylor-Reihe

Wie errechnen sich die Glieder für die Taylor-Reihe? --RokerHRO 12:30, 18. Apr 2005 (CEST)

---

Frage: Ist arcsin = sin^(-1)?

1. arcsin = sin^(-1) 2. die reihenentwicklung stimmt ab dem 4. glied nicht!

1. Das kommt darauf an, was Du mit sin^(-1) meinst. Wenn Du die Umkehrfunktion meinst: im Prinzip ja (Details siehe Artikel). Wenn Du die Funktion $x\mapsto\frac1{\sin x}$ meinst: nein.

2. Doch. Wieso sollten sie nicht stimmen?--Gunther 20:17, 5. Dez 2005 (CET)

[Bearbeiten] Zusammenführung: "Arkussinus" und "Arkuskosinus"

[Bearbeiten] Versionsliste von Arkuskosinus

(Aktuell) (Vorherige) 14:51, 17. Jan 2006 Bsmuc64 K (inuse +)
(Aktuell) (Vorherige) 16:12, 7. Jan 2006 Bsmuc64 K (?Besondere Werte)
(Aktuell) (Vorherige) 16:10, 7. Jan 2006 Bsmuc64 (inuse -)
(Aktuell) (Vorherige) 15:46, 7. Jan 2006 Bsmuc64 (inuse +)
(Aktuell) (Vorherige) 03:40, 4. Jan 2006 Bsmuc64 K (Überarbeiten +)
(Aktuell) (Vorherige) 21:50, 2. Jan 2006 Bsmuc64 K (?Literatur)
(Aktuell) (Vorherige) 13:44, 2. Jan 2006 Bsmuc64
(Aktuell) (Vorherige) 02:29, 2. Jan 2006 Bsmuc64
(Aktuell) (Vorherige) 02:17, 2. Jan 2006 Bsmuc64 K (- Arkus Cosinus wurde nach Arkuskosinus verschoben)
(Aktuell) (Vorherige) 03:52, 1. Jan 2006 Bsmuc64 K (- Arkuskosinus wurde nach Arkus Cosinus verschoben)
(Aktuell) (Vorherige) 13:30, 1. Nov 2005 Horrorist K (?Weiterführendes - vgl. Diskussion Arkussinus)
(Aktuell) (Vorherige) 17:30, 11. Okt 2005 192.35.241.134 (?Definition)
(Aktuell) (Vorherige) 14:13, 3. Okt 2005 Horrorist K (Kosmetik, Log. korrigiert)
(Aktuell) (Vorherige) 22:42, 4. Aug 2005 Creando K
(Aktuell) (Vorherige) 21:22, 11. Jul 2005 Gunther K (Arcus-Cosinus wurde nach Arkuskosinus verschoben)
(Aktuell) (Vorherige) 15:33, 3. Jul 2005 Mawiles (?Besondere Werte)
(Aktuell) (Vorherige) 13:24, 19. Jun 2005 193.174.122.68 (?Besondere Werte)
(Aktuell) (Vorherige) 19:31, 3. Apr 2005 217.81.59.25 (?Beziehungen)
(Aktuell) (Vorherige) 12:17, 3. Apr 2005 217.81.59.25 (?Beziehungen)
(Aktuell) (Vorherige) 19:03, 25. Jan 2005 Fredstober (+Kat)
(Aktuell) (Vorherige) 15:32, 24. Jan 2005 Fredstober K
(Aktuell) (Vorherige) 09:50, 25. Sep 2004 HenHei K (?Beziehungen - +Konstante)
(Aktuell) (Vorherige) 09:49, 25. Sep 2004 HenHei K (?Literatur - Korr.)
(Aktuell) (Vorherige) 09:43, 25. Sep 2004 HenHei (+ Ableitung, Stammfunktion und Taylorreihe)
(Aktuell) (Vorherige) 07:28, 25. Sep 2004 80.81.9.198 (Rechtschreibung)
(Aktuell) (Vorherige) 19:02, 24. Sep 2004 HenHei (Formatierung, Links, erster Satz)
(Aktuell) (Vorherige) 18:49, 24. Sep 2004 Wfstb
(Aktuell) (Vorherige) 19:10, 11. Sep 2004 Matthy
(Aktuell) (Vorherige) 19:09, 11. Sep 2004 Matthy K
(Aktuell) (Vorherige) 22:07, 26. Aug 2004 DaTroll (wikifiziert)
(Aktuell) (Vorherige) 19:24, 26. Aug 2004 Srbauer ([[Kategorie:Mathematik])
(Aktuell) (Vorherige) 19:15, 1. Jun 2004 Michael.chlistalla K (interwiki (Monotonie))
(Aktuell) (Vorherige) 19:15, 1. Jun 2004 Michael.chlistalla K (interwiki)
(Aktuell) (Vorherige) 15:37, 29. Mai 2004 Hreisterp K
(Aktuell) (Vorherige) 15:20, 29. Mai 2004 Hreisterp (?Besondere Werte)
(Aktuell) (Vorherige) 15:15, 29. Mai 2004 Hreisterp (?Besondere Werte)
(Aktuell) (Vorherige) 15:14, 29. Mai 2004 Hreisterp K (?Graf)
(Aktuell) (Vorherige) 15:04, 29. Mai 2004 Hreisterp K (?Beziehungen)
(Aktuell) (Vorherige) 15:01, 29. Mai 2004 Hreisterp (Vervollständigt)
(Aktuell) (Vorherige) 01:36, 28. Mai 2004 Schnargel (Entwicklung?)
(Aktuell) (Vorherige) 15:06, 27. Mai 2004 Matthy

[Bearbeiten] Definition

Die "Definition" in dem Artikel ist schon etwas seltsam formuliert.

Umkehrfunktion zu Sinus. Weil die Sinusfunktion 2π-periodisch ist, muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, damit sie umkehrbar-eindeutig wird. Da diese Einschränkung willkürlich ist, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Der wichtigste ist der Hauptzweig (oder Hauptwert), die Umkehrfunktion der Einschränkung $\sin|_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}$ , man bezeichnet diese bijektive Funktion mit : $\arcsin\colon[-1,1]\to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right].$

Zunächst gibt es die Umkehrfunktion der Sinusfunktion nicht. Eine eindeutige und stetige Umkehrung ist nur möglich, falls die Sinusfunktion eingeschränkt wird auf ein Interval in dem sie streng monoton steigt oder fällt. Theoretisch kommen dafür unendlich viele Intervale in Frage. Die Einschränkung auf das Interval $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ ist aber aus vielerlei Gründen als die sinnvollste Wahl zu betrachten. Eine Wahl ohne die Winkel im rechtwinkligen Dreieck zwischen 0 bis 90 Grad wäre jedenfalls sehr verwirrend. --84.169.238.160 16:36, 1. Aug 2006 (CEST)

Es ist eine Umkehrfunktion in dem Sinne, dass sin arcsin x = x gilt, wann immer die linke Seite definiert ist. Der Text ist nicht optimal, aber er ist im Gegensatz zu der von Dir eingestellten Version auch nicht falsch.--Gunther 16:44, 1. Aug 2006 (CEST)

Ich weiss jetzt nicht von welcher falschen Version hier die Rede ist. Mich stört vor allem die Behauptung, dass die Einschränkung auf $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ willkürlich sei. Irgend eine Wahl muss schließlich getroffen werden. Jede andere Wahl ohne die Winkel zwischen 0 und 90 Grad wäre aber reichlich seltsam. Es gibt daher praktisch keine andere sinnvolle Definition der Umkehrfunktion der Sinusfunktion. --84.169.238.160 17:11, 1. Aug 2006 (CEST)

Zitat: Weil die Sinusfunktion $2π$ -periodisch und ungerade ist, werden alle Werte des Wertebereichs in einem symmetrischen Interval um ein Vielfaches von $π$ genau einmal angenommen. Daher muss ihr Definitionsbereich, der Wertebereich der Umkehrfunktion, auf ein solches Interval eingeschränkt werden, damit sie umkehrbar-eindeutig wird. Die logischen Implikationen in den beiden Sätzen sind falsch. Für eine ungerade Funktion muss es kein symmetrisches Intervall geben, auf dem die Funktion bijektiv ist, und selbst wenn man noch annimmt, dass die Funktion "hübsch" ist, muss es keines geben, auf dem die Funktion ihren vollen Wertebereich hat und bijektiv ist (Beispiel:

sin x - sin3 x

). Es gibt auch keinen Zwang, für die Umkehrung einen symmetrischen Definitionsbereich zu wählen, vgl. Arkuskotangens.

Zur Frage der Beliebigkeit: Mathematisch macht es überhaupt keinen Unterschied, ob man

arcsin

oder

arcsin + 2π

nimmt. Winkel(weiten) sind ohnehin eigentlich keine reellen Zahlen, sondern Elemente von $\R/2\pi\mathbb Z$ .--Gunther 17:23, 1. Aug 2006 (CEST)

Ich wollte nicht zum Ausdruck bringen, dass eine ungerade Funktion notwendigerweise bijektiv ist. Es gilt jedoch die Umkehrung, dass eine gerade Funktion über ein symmetrisches Interval (symmetrisch zur Null) nicht eindeutig umkehrbar sein kann. Eine streng monoton wachsende Funktion wie die Sinusfunktion im Interval $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ ist jedoch immer eindeutig umkehrbar. Jedenfalls gibt es aus meiner Sicht keine wirklich sinnvolle Alternative zur Wahl des einschränkenden Intervals. In jedem größeren Interval ist die Sinusfunktion nicht eindeutig umkehrbar. Die Forderung, dass die Winkel von 0 bis 90 Grad enthalten sein sollen, macht die Sache eindeutig. Die Wahl der Einschränkungen bei Tangenz und Cotangenz sind übrigens auch nicht willkürlich. Es wird jeweils das maximale Interval gewählt in dem die jeweilige Funktion eindeutig umkehrbar ist und die "gewöhlichen" Winkel zwischen 0 und 90 Grad enthalten sind.

Wenn Du die erwähnten falschen Implikationen rauslässt, dann kannst Du es ja auch gerne ändern.--Gunther 18:09, 1. Aug 2006 (CEST)

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Diskussion:Arkussinus und Arkuskosinus

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