Sinc函数

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在 x = −6π 到 6π 区间显示在同样尺度上的归一化 sinc(x) (蓝色) 与非归一化 sinc 函数（红色）

sinc函数，用 $\mathrm{sinc}(x)\,$ 表示，有两个定义，有时区分为归一化sinc函数和非归一化的sinc函数。它们都是正弦函数和单调递减函数 1/x的乘积：

在数字信号处理和通信理论中，归一化sinc函数通常定义为

$\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$
在数学领域，历史上非归一化sinc函数 (for sinus cardinalis)定义为

$\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}$

在这两种情况下，函数在 0 点的奇异点有时显式地定义为 1，sinc 函数处处可解析。

非归一化sinc函数等同于归一化sinc函数，只是它的变量中没有放大系数 π 。

[编辑] 属性

归一化 sinc 函数的特性使得它在插值与带限函数中得到理想应用：

对于 $k\ne 0\,$ 与 $k\in\mathbb{Z}\,$ (整数)， $\mathrm{sinc}(0) = 1\,$ 和 $\mathrm{sinc}(k) = 0\,$ ；也就是说，它是一个插值函数。
函数 $x_k(t)=\mathrm{sinc}(t-k) \$ 在函数空间 $L^2(\R)$ 形成一个带限函数的正交基，它的最大角频率是 $\omega_\mathrm{H}=\pi\,$ ，也就是说最大的循环频率是 $f_\mathrm{H}=1/2\,$ 。

这两个 sinc 函数的其它特性包括：

非归一化 sinc 函数 $\begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,$ ; 对应于它与余弦函数的交点。也就是说，如果 $\begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,$ 的导数是 0 ，即在 $x = a\,$ 有极值，那-{A|zh-cn:么;zh-tw:幺}- $\begin{matrix}\frac{\sin(a)}{a} \end{matrix} = \cos(a) \,$ 。

非归一化 sinc 是第一类零阶球贝塞尔函数 $j_0(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,$ 。归一化 sinc 是 $j_0(\pi x)\,$ 。

非归一化 sinc 的过零点是 $\pi\,$ 的非零倍数；归一化 sinc 函数 $\mathrm{sinc}(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\,$ 的过零点出现在非零整数。

归一化 sinc 函数 $\mathrm{sinc}(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\,$ 的对于普通频率的连续傅里叶变换是 $\mathrm{rect}(f)\,$ .

$\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t)\,e^{-2\pi i f t}dt = \mathrm{rect}(f)$ ,

其中矩形函数在 –1/2 到 1/2 之间值为 1，在其它区域值为 0。

积分

$\int_{-\infty}^\infty \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\, dx = 1$

是广义积分。因为：

$\int_{-\infty}^\infty \left|\begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\right|\ dx = \infty \,$

所以它不是勒貝格積分。

$\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)$

$\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)} = \frac{1}{x! (-x)!}$

其中

Γ(x)

是 Γ函数.

[编辑] 与狄拉克δ分布的关系

尽管不是分布，归一化 sinc 函数也可以作为 nascent δ函数（参见狄拉克δ函数）使用。

归一化 sinc 函数通过下式与δ分布 δ(x) 发生联系

$\lim_{a\rightarrow 0}\frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)=\delta(x).$

由于等式左侧并不收敛，所以这不是普通的 limit，而是说明对于任意的 compact support 平滑函数 $\varphi(x)$ 有

$\lim_{a\rightarrow 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)\varphi(x)\,dx =\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\varphi(x)\,dx = \varphi(0),$

在上面的表达式中，随着 a 趋近于 0，sinc 函数每个单元长度上的振动次数趋近于无限，然而不管 a 是什么值，这个表示通常在 ±1/(πx) 内振动。这与 δ(x) 的非正式表示有所矛盾，δ(x) 除了 x=0 之外其它 x 上的值都是 0，这表明了将δ函数作为函数而不是分布带来的问题。在吉布斯现象（en:Gibbs phenomenon ）中也有类似的状况。