Sinc-Funktion
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Als sinc-Funktion bezeichnet man in der Analysis den Sinus cardinalis oder Kardinalsinus oder Spaltfunktion si, nach der Verwendung dieser Funktion in der Kardinalreihe nach E. T. Whittaker bzw. dem Interferenzmuster eines (idealen) unendlich langen Beugungsgitters. Er bezeichnet die reelle Funktion, welche die stetige Fortsetzung des Sinus dividiert durch sein Argument liefert.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Hinweise
Oftmals wird sinc auch mit si abgekürzt. Nicht verwechseln jedoch sollte man die Spaltfunktion sinc bzw. si mit ihrer Stammfunktion Si, dem sogenannten Integralsinus.
[Bearbeiten] Definitionsgleichung
Der Kardinalsinus 
ist als
definiert. Dabei besitzt die Funktion 
an der Stelle x = 0 eine Definitionslücke (unbestimmter Ausdruck der Art „Null geteilt durch Null“), die durch die Vorgabe des Funktionswertes 1 stetig ergänzt wird. Nach der Regel von L'Hospital gilt nämlich
.
Oft wird auch der normalisierte Kardinalsinus sincN(x): = sinc(πx) nur als sinc bezeichnet. Dieser ist der ideale Interpolationskern für ganzzahlige Stützstellen, denn es gilt
.
[Bearbeiten] Darstellung als Fouriertransformierte der Rechteckfunktion
Die Spaltfunktion ist die Fouriertransformierte der Rechteckfunktion
![\mathrm{rect} \left(\frac{t}{\tau} \right) =\chi_{[-\tau/2,\tau/2]}(t) := \begin{cases}1 & |t|\le\tau/2 \\ 0 & \mathrm{sonst} \end{cases},](../../../math/2/b/4/2b41acf867d9b3fdf5255ee301f31873.png)
denn es gilt
![\mathcal F(\chi_{[-\tau/2,\tau/2]})(\omega) = \frac1{\sqrt{2\pi}}\int \limits_{-\tau/2}^{\tau/2} e^{-\mathrm{i} \omega t}\, dt = \frac1{\sqrt{2\pi}}\,\tau \,\mathrm{sinc} \left( \frac{\omega \tau}{2} \right)](../../../math/1/e/7/1e70ba7ba271d45251a5a5c72565eb3d.png)
.
Sie ist also bis auf eine Konstante die Fourier-Transformierte der Rechteckfunktion rect(2x) = χ[ − 1,1]. Dies ist ein weiterer Grund, sie als Spaltfunktion zu bezeichnen (Spalt beim Tonbandkopf und Frequenzfilterung).
Aus den Eigenschaften der Fourier-Transformation folgt, dass die sinc-Funktion beliebig oft stetig differenzierbar und analytisch ist. Aus der Plancherel-Identität der Fourier-Transformation folgt weiter, dass sie orthogonal zu Verschiebungen ihrer selbst ist, es gilt
,
wobei δl,k das Kronecker-Delta bezeichnet.
Mit einer passenden Normierung bilden diese Verschiebungen der sinc-Funktion also ein Orthonormalsystem im Funktionenraum 
. Die Projektion auf den von den sinc(x − kπ) aufgespannten Unterraum ergibt sich als
.
Aufgrund der Interpolationseigenschaft gilt 
, also
.
Funktionen aus diesem Unterraum sind also durch ihre Werte an den Stellen 
eindeutig bestimmt.
Die Rechteckfunktion als Fouriertransformierte der sinc-Funktion hat beschränkten Träger, ist daher samt der Linearkombinationen ihrer Verschiebungen bandbeschränkt. Umgekehrt ist jede bandbeschränkte als eine solche Linearkombination darstellbar, und daher durch die Funktionswerte an den genannten Stützsteellen eindeutig bestimmt. Das ist die Aussage des WKS-Abtasttheorems.
[Bearbeiten] Aufbaufunktion zur Signalrekonstruktion
Die si-Funktion hat insbesondere in der Signalverarbeitung eine große Bedeutung. Sie tritt in der sogenannten Samplingreihe (oder Kardinalreihe, E. T. Whittaker 1915) auf, mit Hilfe derer ein kontinuierliches bandbeschränktes Signal x aus seinen Abtastwerten x(kΔt) rekonstruiert bzw. eine beliebige Stützstellenfolge zu einem kontinuierlichen Signal fortgesetzt wird:
Diese ist die Interpolationsformel geringster Schwankung, d.h. das Frequenzspektrum ist beschränkt und hat die kleinstmögliche höchste (Kreis-)Frequenz 
bzw. Frequenz 
. Hat das Ausgangssignal Anteile höherer Frequenzen, so ist die Folge dieser Abtastwerte zu grobmaschig, die hochfrequenten Anteile werden in zusätzliche niederfrequente Anteile umgesetzt, d. h. es tritt Aliasing (Fehlzuordnung der Frequenzanteile) auf.
[Bearbeiten] Namensgebung
Der Zusammenhang zur Rechteckfunktion gab der Spaltfunktion vermutlich auch ihren Namen. Unter bestimmten Voraussetzungen ist bei Abbildungen mit Linsen die Wellenamplitude in der bildseitigen Brennebene nämlich genau die (räumliche) Fouriertransformierte der Wellenamplitude in der Objektebene.
Ein Spalt lässt sich eindimensional mit Hilfe der Rechteckfunktion beschreiben. Im Bereich der Spaltöffnung beträgt die Lichtamplitude 1, in den anderen Bereichen beträgt die Amplitude 0. Bildet man daher diesen Spalt ab, so ergibt sich in der Brennebene das Amplitudenmuster der Spaltfunktion.
Da das Auge das Quadrat der Wellenamplitude des Lichtes sieht, erkennt man allerdings eine si2-förmige Helligkeitsverteilung.
