Sinus cardinal

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La fonction sinus cardinal (définition 2).

[modifier] Définitions

En mathématiques, la fonction sinus cardinal est définie par :

$\mbox{sinc}(x) = \frac{\mbox{sin}(x)}{x}\,$ (définition 1)

où $sin$ désigne la fonction sinus.

Comme souvent en mathématiques, il existe une autre définition couramment utilisée:

$\mbox{sinc}(x) = \frac{\mbox{sin}(\pi x)}{\pi x}\,$ (définition 2)

En particulier, il s'agit de la représentation utilisée avec les logiciels GNU Octave et Matlab.

Quand une confusion pourra être possible, on notera par la suite $sinc 1$ (resp. $sinc π$ ) la première (resp. la seconde) version de la fonction.

[modifier] Quelques faits remarquables sur la fonction

la valeur en zéro semble de prime abord non triviale, mais le problème est vite résolu en se rappelant que la fonction sinus se comporte comme $x$ au voisinage de zéro.

les zéros de la fonction sont atteints en $x = k\pi, k \in \mathbf{Z}^\star$ (première définition) ou $x = k, k \in \mathbf{Z}^\star$ (seconde définition)

Extrema:

Abscisses et valeurs des extrema
$x$	$x / π$	$sinc(x)$	$sinc 2 (x)$	$20log 10 sinc(x)$
0.000000	0.000000	1.000000	1.000000	0.000000
4.493409	1.430297	-0.217234	0.047190	-13.261459
7.725252	2.459024	0.128375	0.016480	-17.830421
10.904122	3.470890	-0.091325	0.008340	-20.788187
14.066194	4.477409	0.070913	0.005029	-22.985427
17.220755	5.481537	-0.057972	0.003361	-24.735664
20.371303	6.484387	0.049030	0.002404	-26.190829
23.519452	7.486474	-0.042480	0.001805	-27.436388
26.666054	8.488069	0.037475	0.001404	-28.525278
29.811599	9.489327	-0.033525	0.001124	-29.492589
32.956389	10.490344	0.030329	0.000920	-30.362789
36.100622	11.491185	-0.027690	0.000767	-31.153625
39.244432	12.491891	0.025473	0.000649	-31.878380
42.387914	13.492492	-0.023585	0.000556	-32.547257

la valeur où le carré de $sinc 1 (x)$ vaut 0,5 est atteinte pour x = +/- 1.39156 environ (ce qui permet de définir la largeur de la bande passante à -3 dB en puissance, de la fonction)
la transformée de Fourier du sinus cardinal est la fonction porte:

$\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}_\pi(t)\,e^{-2\pi i f t}dt = \mathrm{rect}_1(f)$

où la fonction porte est définie de la manière suivante:

$\mathrm{rect}_\tau \left(t\right) = \begin{cases}1 & |t|\le\tau/2 \\ 0 & \mathrm{sinon} \end{cases},$

la transformée de Fourier de la fonction porte telle que définie ci-dessus est également un sinus cardinal:

$\mathcal F(\mathrm{rect}_\tau)(\omega) = \frac1{\sqrt{2\pi}}\int \limits_{-\tau/2}^{\tau/2} e^{-\mathrm{i} \omega t}\, dt = \frac1{\sqrt{2\pi}}\,\tau \,\mathrm{sinc}_1 \left( \frac{\omega \tau}{2} \right)$ .

[modifier] Utilisation et applications

Etant donné que la transformée de Fourier de la fonction porte est très couramment utilisée, le sinus cardinal est forcément très utilisé aussi, notamment en physique ondulatoire (car tous les phénomènes de diffraction sont traités par transformée de Fourier) ainsi qu'en traitement du signal. En particulier, le sinus cardinal est fréquemment rencontré en théorie des antennes, en acoustique, en radar, etc.

On utilise également souvent le carré du sinus cardinal, car celui-ci donne l'intensité ou la puissance du signal dont l'amplitude est en sinus cardinal. Souvent, on cherchera à réduire l'influence des maxima secondaires du module (qui donne lieu à des lobes secondaires indésirables)