老虎悖论
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[编辑] 故事
一名年轻人向公主求婚,国王提出了一个条件,對年輕人說:“這裡有五扇門,其中一扇門裡頭會有老虎跳出來,但是你絕對料想不到是那一扇門”。年輕人想:門裡頭如果有老虎,你都先告訴我了,我怎麼會料想不到?所以門後面一定沒有老虎。
年轻人必须按次序打开五扇门,其中一扇门将会意料不到的出现一只老虎,年轻人打死了老虎就可以得到公主。然后年轻人站到门前开始了推理,假如前四扇我打开后都没有老虎,那老虎肯定在第五扇门中,而国王说过老虎在一扇意料不到的门中,所以老虎肯定不在第五扇门中,依次类推,老虎不存在,最后年轻人冒冒失失开始推门,结果老虎从第二扇门中跳了出来。
[编辑] 悖论分析
這個推理錯在哪裡,就很明顯了:為什麼年輕人相信“會料想不到”,卻不相信“有老虎”?
為什麼問題改成“五扇門”之後,會變複雜?因為門後變得“可能有老虎,也可能沒老虎”了。但無論如何,“如果年輕人的推理成立”,那麼就算國王把老虎放在第五扇門後,也是“料想不到”,學者们爭論的重點只在於:這個推理究竟錯在第幾步?
[编辑] 不同的主张
[编辑] 主張錯在第一步
- 如果第一步是正確的,那麼後面幾步為什麼是錯的?所以第一步就錯了。
[编辑] 主張錯在第二步
- 故事中的年輕人最後決定相信“沒有老虎”。但,國王並不知道年輕人是否會這樣,所以的確不可能把老虎放在第五扇門。如果年輕人決定相信“一定有老虎”,那麼在前四扇門都沒有老虎之後,第五扇門後的老虎的確就變成“可預料的”了。
- 既然老虎在第五扇門的話,牠一定是“可預料的”,那麼當你已經開了三扇空門時,情況是怎麼樣?我們可以試著寫成邏輯式子:前提一、老虎不可預料。前提二、老虎如果在第五扇門時,可預料。前提三、老虎不在第五扇門時,就一定在第四扇門。前提四、老虎如果在第四扇門時,可預料。結論:前提互相矛盾。
- 請注意:這時的邏輯推理中,既然前題互相矛盾,必定有一個以上不成立,那麼可能性就是以下四個其中之一、或是更多:
-
- 一、老虎可預料。
- 二、老虎如果在第五扇門時,不可預料。
- 三、老虎不在第五扇門時,也不一定在第四扇門。
- 四、老虎如果在第四扇門時,不可預料。
二和四自身是矛盾命題,不考慮,三會導致老虎變成薛丁格的貓,也就是半消失狀態(年輕人把老虎往前門推是錯誤的,因為前提中包含「已經開了三扇空門」)。所以可能性只有一個:老虎可預料。但若老虎可預料,那麼顯示國王說謊,如果國王可能說謊,那麼老虎也真的有可能消失。
- 這時的正確結論是:國王一定說謊,但他的謊言可能是“老虎可預料”,卻也可能是“根本沒老虎”,年輕人只是偏心於一個可能性,結果幫國王圓謊罷了。
[编辑] 主張錯在最後一步
- 如果“不可預料”並不是一種保證,而只意味“高機率”,“有老虎”才是保證,那麼情況又整個改觀。可以列成以下狀況:
- 如果青年連猜五次“老虎不在”,則不可預料率100%,當然是最糟的狀況。
- 如果青年連猜五次“老虎在”,這時應將不可預料率一樣視為100%。假設國王隨便放,因為平均猜錯次數是兩次,亦即猜錯一次要加不可預料率50%才公平。
- 假設國王隨便放,這時青年採用的策略,以:
-
- 先兩次不猜,再連續猜老虎在:成功率0、0、100、50、0,平均30最高分
- 先三次不猜,再連續猜老虎在:成功率0、0、0、100、50,平均也是30最高分
- 但以上兩種高分解,前兩扇門都是安全門,必須混合下列解答靈活運用
- 如果第一次就猜老虎在:成功率100、-50、-50、50、0,平均只有10分
- 如果第二次就猜老虎在:成功率0、100、50、0、-50,平均也有20分
- 為了便於計算,假設這四種策略年輕人都平均運用,綜合以上,老虎放在不同門的平均不可預料率,75%、87.5%、75%、50%、100%
- 很明顯了,這時國王的對應策略,如果把老虎放在失分最低的第五扇門,可能被年輕人豪賭賭中,所以把老虎放在失分次低的第二扇門會是最佳選擇,只要把年輕人的猜中率壓在20%以下,都可以毫無愧色說是有很高的不可預料率。
[编辑] 分析结果
- 這只是一個初步的計算。更精確的計算請運用博弈論。
- 因此年輕人其實是錯在最後一步:他應該從“老虎不存在”這個矛盾的結論,導出國王所謂的“不可預料”其實是指機率,再從機率上推測國王到底把老虎放在第幾個門。
- 主張錯在邏輯語意:一個科學事實,海森堡測不準原理可以用來反駁年輕人的推理。也就是說假設老虎在第五扇門後,當年輕人開了四扇門之後,如果質疑第五扇門後的老虎是“可預料的”,國王可以答辯說:“我說老虎不可預料,是在你開門之前”,意即開門(測量)這個動作改變了受測物的性質“不可預料”。如果預計國王會這樣答辯,那麼年輕人的五步推理全都是錯的。但這種說法也有反對者,他們認為這種答辯雖有科學根據、但那要年輕人也有科學素養才能了解,否則國王會變成秀才遇到兵、有理說不清。
[编辑] 其他版本
[编辑] 突擊測驗
老師宣布下星期一至星期五其中一日之中,會有一天舉行突擊測驗。學生認為根本不存在突擊測驗。若假設直到星期四還未舉行測驗,那麼星期五就會舉行,那就不算突擊,因此星期五不會舉行。若星期三還未舉行,而星期五又不會舉行,星期四就會舉行……如此類推,老師不可能進行突擊測驗。