פרדוקס בוחן הפתע
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
פרדוקס בוחן הפתע הוא פרדוקס שנוצר בעת מלחמת העולם השנייה כאשר הרדיו בשבדיה הודיע לתושבים כי בשבוע הבא ייערך תרגיל הגנה אזרחית, ועד לתחילת התרגיל לא תהיה לתושבים אפשרות לדעת באיזה יום הוא ייתרחש.
הפרדוקס ידוע בנוסחים שונים, ונדגים את אופיו הפרדוקסלי בסיפור הבא:
מורה נכנס לכיתה ומודיע לתלמידיו, כי באחד מימי השבוע הבא יתקיים בוחן פתע בתשע בבוקר, ועד לתחילת הבוחן לא תהיה לתלמידים אפשרות לדעת באיזה יום הוא ייתרחש.
התלמידים, בניסיון לדעת את מועד הבוחן, ערכו את הניתוח הבא:
- לא ייתכן שהבוחן ייערך ביום שישי, משום שאם הבוחן לא יתקיים עד יום חמישי, נדע בוודאות בסופו של יום חמישי שהבוחן יתקיים ביום שישי, וזאת בניגוד לקביעתו של המורה כי עד לתחילת הבוחן לא תהיה לנו אפשרות לדעת באיזה יום הוא ייתרחש.
- יום חמישי הוא אם כן היום האחרון שבו יכול הבוחן להתרחש. אם כך, לא ייתכן שהבוחן ייערך ביום חמישי, משום שאם הבוחן לא יתקיים עד יום רביעי, נדע בוודאות בסופו של יום רביעי שהבוחן יתקיים ביום חמישי, וזאת בניגוד לקביעתו של המורה כי עד לתחילת הבוחן לא תהיה לנו אפשרות לדעת באיזה יום הוא ייתרחש.
- באופן דומה נפסל גם יום רביעי, ואחריו יום שלישי, יום שני ויום ראשון.
מסקנתם של התלמידים הייתה שבהתאם לתנאים שקבע המורה, הבוחן אינו יכול להתקיים, ולכן כלל לא טרחו להתכונן אליו. מה גדולה הייתה הפתעתם כאשר ביום שלישי נכנס המורה לכיתה והודיע על תחילתו של בוחן הפתע המובטח. איפה הטעות בניתוח שעשו התלמידים?
[עריכה] פתרון
השורש של הפרדוקס טמון במשמעות הסמנטית של המושג "בוחן פתע". בדיקה מדוקדקת של הפרדוקס תראה שהוא נוצר רק מכיוון שאנו מייחסים למושג "בוחן פתע" שתי משמעויות שונות בו זמנית.
ראשית, כאשר התלמידים מניחים שאם המבחן לא התקיים עד יום חמישי, הוא אינו יכול להתקיים ביום שישי, המשמעות שהם מייחסים למושג "בוחן פתע" היא זאת - "בוחן שלא ניתן לדעת בשום יום באיזה יום יתקיים". בוחן פתע שכזה אכן אינו אפשרי כאשר המבחן ניתן במסגרת זמן מוגבלת - תמיד יהיה ניתן לדעת עבור היום האחרון, ועבורו בלבד, שהבוחן בהכרח יתקיים בו אם הוא לא התקיים עד עתה. כלומר, "בוחן פתע" מושלם (כזה שמפתיע בכל יום) אינו אפשרי במסגרת זמן מוגבלת. על כן, התלמידים אכן מוכיחים שבוחן פתע מושלם אינו יכול להתקיים, אולם הם אינם מוכיחים מאומה עבור בחני פתע "מוגבלים", שמפתיעים בחלק מהזמן.
לאחר מכן, משניתן הבוחן ביום שלישי ועדיין היה "מפתיע", מייחסים התלמידים למושג "בוחן פתע" משמעות אחרת: "בוחן שכאשר ניתן, לא היה ניתן לדעת באיזה יום יתקיים". זוהי גרסה חלשה בהרבה של הבוחן ה"מושלם" שבה השתמשו התלמידים בהנחת האינדוקציה שלהם, מכיוון שכאן על הבוחן להיות מפתיע רק ביום ספציפי אחד, היום שבו הוא ניתן - ויום זה נתון לבחירתו השרירותית של המורה.
כלומר: הפרדוקס נגרם לכאורה מכיוון שהתלמידים מופתעים על ידי בוחן שאינו מפתיע תמיד. אין כאן כל סתירה, כמובן (כי הבוחן יכול להפתיע בחלק מן הזמן), ולכן הפרדוקס אינו פרדוקס של ממש.
בניסוח פורמלי יותר קרוי הפרדוקס בשם "פרדוקס האינדוקציה לאחור" (Backward Induction Paradox), והוא מופיע בצורתו זו בתורת המשחקים, בעת ניתוח של דילמת האסיר האיטרטיבית.
