有理函數

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有理函數是可以表示為以下形式的函數：

$f(x)=\frac{a_m x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots +a_1x+a_0}{b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots +b_1x+b_0} = \frac{P_m(x)}{Q_n(x)} \quad ; \quad m, n \in \mathbb{N}_0$ ，

b i

不全為0。

有理數式是多項式除法的商，有時稱為代數分數。

[编辑] 漸近線

不失一般性可假設分子、分母互質。若存在 $r > 0$ ，使得 $(p x + q) r$ 是分母 $Q (x)$ 的因子，則有理函數存在垂直漸近線 $x = - q / p$ 。
若 $m < n$ ，有水平漸近線 $x = 0$ 。
若 $m = n$ ，有水平漸近線 $x=\frac{a_m}{b_m}$ 。
若 $m = n + 1$ ，有斜漸近線 $y=\frac{a_m}{b_n} x + \frac{a_{m-1}}{b_n}$ 。

[编辑] 泰勒級數

有理函數的泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係。反之，若一個泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係，它對應的函數是有理函數。

[编辑] 部分分數

部分分數，又稱部分分式、分項分式，是將有理數式分拆成數個有理數式的技巧。

有理數式可分為真分式、假分式和帶分式，這和一般分數中的真分數、假分數和帶分數的概念相近。真分式分子的次數少於分母的。

若有理數式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 的分母 $Q (x)$ 可分解為數個多項式的積，其部分分數便是 $\sum\frac{A_n}{Q(x)/h_n(x)}$ ，其中 $h n (x)$ 是 $Q (x)$ 的因子， $A n$ 是次數不大於Q(x)/h_n(x)的多項式。

[编辑] 例子

分拆 $\frac{x^3 - 5x +88}{x^2 + 3x - 28}$

分子的次數是3，分母的是2，所以先將它轉成真分式和多項式的和（即帶分式）：

$x-3 + \frac{32 x+4}{x^2 + 3x - 28}$

因為 $x 2 + 3 x - 28 = (x + 7)(x - 3)$ ，所以

$\frac{32 x-4}{x^2 + 3x - 28} = \frac{A}{x+7} + \frac{B}{x-4}$ 比較係數，解得 $A = 20, B = 12$

故： $\frac{x^3 - 5x +88}{x^2 + 3x - 28} = x + \frac{20}{x+7} + \frac{12}{x-4} - 3$

[编辑] 應用

[编辑] 積分

在計算有理數式的積分時，部分分數的方法很有用，因為分母的1和2次多項式的有理數式的積分都有固定的方法計算。

分母為1次多項式：求 $\int \frac{1}{ax+b} dx$ 。

設 $u = a x + b$ ：

$\frac{du}{dx} = a$

$\frac{du}{a} = dx$

原式變為

$\int \frac{1}{u} \frac{du}{a} = \frac{1}{a} \int \frac{1}{u} {du} = \frac{\ln\left|u\right|}{a} + C = \frac{\ln\left|ax+b\right|}{a} + C$

分母次數為2：求 $\int \frac{dx+e}{ax^2+bx+c} dx$ 。

若多項式 $a x + b x + c$ 可分解為兩個一次多項式的積（即 $b^2-4ac \ge 0$ ），則可用部分分數的方法解決。若多項式不可分解，則將它配方，再用各種替代法解決。

例如：

$\int {x+6 \over x^2-8x+25}\,dx.$

因為

$x^2-8x+25=(x^2-8x+16)+9=(x-4)^2+9\,$

考慮

$u=x^2-8x+25\,$

$du=(2x-8)\,dx$

$du/2=(x-4)\,dx$

將分子分解，以便應用上面的替換：

$\int {x-4 \over x^2-8x+25}\,dx + \int {10 \over x^2 - 8x + 25} \, dx$

左邊：

$\int {x-4 \over x^2-8x+25}\,dx = \int {du/2 \over u} = {1 \over 2}\ln\left|u\right|+C = {1 \over 2}\ln(x^2-8x+25)+C$

另一邊：

$\int {10 \over x^2-8x+25} \, dx = \int {10 \over (x-4)^2+9} \, dx = \int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^2+1}\,dx$

代入

$w=(x-4)/3\,$

$dw=dx/3\,$

${10 \over 3}\int {dw \over w^2+1} = {10 \over 3} \arctan(w)+C={10 \over 3} \arctan\left({x-4 \over 3}\right)+C.$

另一種可行的代入方法是：

$\tan\theta={x-4 \over 3},\,$

$\left({x-4 \over 3}\right)^2+1=\tan^2\theta+1=\sec^2\theta,\,$

$d\tan\theta=\sec^2\theta\,d\theta={dx \over 3}.\,$

$\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^2+1}\,dx = 10/9 \int \frac{1}{\sec^2 \theta} 3 \sec^2 \theta \, d\theta = {10 \over 3} \arctan\left({x-4 \over 3}\right)+C$