泰勒级数

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泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的数学家Brook Taylor来命名的。

[编辑] 简介

在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数 f 的泰勒级数是如下的幂级数：

$\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}$

这里， n!表示n的阶乘而f ⁽ⁿ⁾(a) 表示函数f在点a处的n阶导数。如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于 f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。

如果a = 0, 那么这个级数也可以被称为 麦克劳伦级数。

泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。

对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数f(x) = exp(−1/x²) 当 x ≠ 0 且 f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数 f 仅在 x = 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当 z 沿虚轴趋于零时 exp(−1/z²) 并不趋于零。

一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x) = exp(−1/x²) 就可以被展开为一个洛朗级数。

Parker-Sockacki theorem 是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。这个定理是对Picard iteration一个推广。

[编辑] 泰勒级数列表

下面我们给出了几个重要的泰勒级数。参数x为复数时它们依然成立。

指数函数和自然对数:

$e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for all } x$

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

几何级数:

$\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

二项式定理:

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} C(\alpha,n) x^n\quad\mbox{ for all } \left| x \right| < 1\quad\mbox{ and all complex } \alpha$

三角函数:

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x$

$\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

$\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

$\arctan x = {{\pi {\mathop{\rm sgn}} x} \over 2} - {1 \over x} + \sum_{x = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^k } \over {\left( {2k + 1} \right)x^{2k + 1} }}} \quad {\rm{for }}\left| x \right| > 1$

双曲函数:

$\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x$

$\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x$

$\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

$\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1$

Lambert's W function:

$W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{ for } \left| x \right| < \frac{1}{e}$

tan(x) 和 tanh(x) 展开式中的B_k 是 Bernoulli numbers。二项式展开中的 C(α,n) 是二项式系数。 sec(x) 展开式中的E_k是Euler numbers。

[编辑] 多元函数的展开

泰勒级数可以推广到有多个变量的函数： $\sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x^{n_d}} \frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}$