恆等函數
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在數學裡,恆等函數為一無任何作用的函數:它總是傳回和其引數相同的值。換句話說,恆等函數為函數f(x) = x。
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[编辑] 定義
設M為一集合,於M上的恆等函數f被定義於一具有定義域和陪域M的函數,其對任一M內的元素x,會有f(x)=x的關係。
於M上的恆等函數f通常標記為idM或1M。
[编辑] 代數性質
設f : M → N為任一函數,則會有f o idM = f = idN o f(其中"o"為函數複合)。特別地是,idM會是所有由M至M的函數所組成之么半群的單位元。
因為么半群的單位元是唯一的,可以以M上的單位元來替代其恆等函數的定義。此一定義廣義化成了於範疇論中恆等態射的概念,其中M的自同態並不必然要是個函數。
[编辑] 例子
- 於正整數上的恆等函數為一數論中的完全積性函數。
- 在一n維向量空間內,恆等函數表示成單位矩陣In,不論其基為何。
- 在一度量空間,恆等函數很當然地為等距同構。一無任何對稱的物件會有一對稱群,只包含其等距同構的群C1。