唯一量化
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在谓词逻辑和依赖于它的技术领域中，唯一量化或唯一存在量化，尝试形式化对于“精确”的一个事物，或对于精确的特定类型的一个事物为真的某个事物的概念。
唯一量化是一类量化；关于一般性的量化的更多信息请参见量化 (数理逻辑)。本文处理特定于唯一量化的想法。唯一量化的一般化是计数量化。
例如:
- 有精确的一个自然数 x 使得 x - 2 = 4。
符号化写为:
- ∃!x in N, x - 2 = 4
符号 ∃! 叫做“唯一量词”或“唯一存在量词”。它通常读做“有一个且只有一个”，“存在唯一一个” (存在着这个符号的在文法上和如何阅读上的多个变体)。
唯一量化通常被认为是全称量化(“对于所有”，∀)、存在量化(“对于某个”，∃)和等式(“等于”，=)的组合。因此，如果 P(x) 是要在其上量化的谓词(在我们上面例子中的 P(x) 是 “x - 2 = 4”)，那么 ∃!x, P(x) 意味着:
或句话说:
- 对于某个 a，P(a) 并且对于所有的 b，如果 P(b)，则 a 等于 b。
或更加简洁的说:
- 对于某个 a 使得 P(a)，对于所有 b 使得 P(b)，a 等于 b。
这里的 a 使得 P(a) 的唯一对象；它存在并且进一步的，如果任何其他对象 b 也满足 P(b)，则 b 必定是同一个唯一的对象 a。
“存在精确的一个 x 使得 P(x)”的陈述还可以写为两个更弱的陈述的逻辑合取:
- 对于“至少一个”x，P(x) 并且
- 对于“至多一个”x，P(x)。
其中第一个简单的存在量化：∃x，P(x)。 第二个是不带存在性的唯一性，有些写为 !x, P(x)。 它被定义为:
- ∀a, ∀b, P(a) ∧ P(b) → a = b
这两个陈述的合取逻辑等价与前面给出的单一陈述。 但是实际上，证明唯一存在性通常要分别证明这两个陈述。
[编辑] 参见
- 一且唯一
