Символы Кристоффеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математике и физике, символы Кристоффеля, названные в честь Элвина Бруно Кристоффеля (1829—1900), являются координатными выражениями связности Леви-Чивита или аффинной связности. Символы Кристоффеля используются в дифференциальной геометрии для практических вычислений геометрических величин в заданной системе координат. Вычисления такого рода обычно очень громоздкие и требуют исключительного внимания к деталям, поэтому их лучше выполнять на компьютере при помощи пакетов компьютерной алгебры. Формальные, безындексные определения связности абстрагируются от конкретной системы координат и поэтому более предпочтительны при доказательстве математических теорем.

[править] Определения

Символы Кристоффеля могут быть определены из того условия, что ковариантная производная метрического тензора $g_{ik}\$ равна нулю:

$\nabla_\ell g_{ik}=\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- g_{mk}\Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im}\Gamma^m {}_{k\ell}=0.\$

Для сокращения записи символ набла $\nabla$ и символы частных производных часто опускаются, вместо них перед индексом, по которому производится дифференцирование, ставится точка с запятой ";" в случае ковариантной и запятая "," в случае частной производной. Таким образом, выражение выше можно также записать как

$\,g_{ik;\ell} = g_{ik,\ell} - g_{mk} \Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im} \Gamma^m {}_{k\ell} = 0. \$

Явные выражения для символов Кристоффеля получаются, если сложить это уравнение и другие два уравнения, которые получаются циклической перестановкой индексов:

$\Gamma^i {}_{k\ell}=\frac{1}{2}g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} \right) = {1 \over 2} g^{im} (g_{mk,\ell} + g_{m\ell,k} - g_{k\ell,m}), \$

где $g^{ij}\$ - контравариантная метрика, обратная к $g_{ij}\$ , которая определяется (через дельта Кронекера) $g^{k i} g_{i l}= \delta^k {}_l\$ . Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и обычные тензоры, они не являются тензорами, потому что не преобразуются как тензоры при переходе в новую систему координат.

[править] Связность в безындексных обозначениях

Пусть X и Y - векторные поля с компонентами $X^i\$ и $Y^k\$ . Тогда k-я компонента ковариантной производной поля Y по отношению к X задается выражением

$\left(\nabla_X Y\right)^k = X^i \nabla_i Y^k = X^i \left(\frac{\partial Y^k}{\partial x^i} + \Gamma^k {}_{im} Y^m\right).\$

В некоторых старых учебниках в этом выражении пишут dx вместо X. Здесь и нижк используется правило суммирования Эйнштейна, т.е. по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Свертка тензора с метрическим тензором означает поднятие/опускание индекса:

$\langle X,Y\rangle = g(X,Y) = X^i Y_i = g_{ik}X^i Y^k = g^{ik}X_i Y_k.\$

Необходимо иметь в виду, что $g_{ik}\neq g^{ik}\$ и что $g^i {}_k=\delta^i {}_k\$ (дельта Кронекера). Под метрическим тензором обычно понимается тензор $g i k$ с двумя индексами внизу (с ковариантными индексами). Тензор с двумя верхними индексами, $g^{ik}\$ , находится путем решения системы линейных уравнений $g^{ij}g_{jk}=\delta^i {}_k\$ .

Условие отсутствия кручения у связности, : $\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]\$ , эквивалентно симметричности символов Кристоффеля по двум нижним индексам:

$\Gamma^i {}_{jk}=\Gamma^i {}_{kj}.\$

[править] Замена координат

При замене переменных $(x^1,...,x^n)\$ на $(y^1,...,y^n)\$ , базисные векторы преобразуются ковариантно,

$\frac{\partial}{\partial y^i} = \frac{\partial x^k}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^k}\$

откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля:

$\overline{\Gamma^k {}_{ij}} = \frac{\partial x^p}{\partial y^i}\, \frac{\partial x^q}{\partial y^j}\, \Gamma^r {}_{pq}\, \frac{\partial y^k}{\partial x^r} + \frac{\partial y^k}{\partial x^m}\, \frac{\partial^2 x^m}{\partial y^i \partial y^j} \$

Черта означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля не преобразуются как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в т.наз. en:jet bundle с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой.