Ковариантное дифференцирование
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В математике под ковариантным дифференцированием подразумевается операция взятия ковариантной производной от тензорного поля, заданного на некотором многообразии. Частными случаями тензорных полей являются скалярное и векторное поле. Ковариантная производная тензорного поля имеет по сравнению с частной производной дополнительные слагаемые, которые содержат символы Кристоффеля.
[править] Общая формула для ковариантной производной
Пусть тензорное поле типа (p, q) задано своими компонентами в некоторой локальной системе координат xk, причем компоненты - дифференцируемые функции. Тогда ковариантная производная тензорного поля представляет собой тензор типа (p,q+1), который определяется по формуле:
где Γkij - символы Кристоффеля, выражающие связность искривленного многообразия.
[править] Примеры для некоторых типов тензорных полей
Ковариантная производная векторного поля имеет по сравнению с частной производной дополнительное слагаемое,
Ковариантная производная скалярного поля совпадает с частной производной,
а ковариантная производная ковекторного поля -
В пространстве без кручения символы Кристоффеля симметричны, и ковариантные производные скалярного поля коммутируют:
В общем случае ковариантные производные тензоров не коммутируют (см. тензор кривизны).
Ковариантная производная тензорного поля типа (2,0) равна
то есть,
Для тензорного поля с одним верхним, одним нижним индексом ковариантная производная равна
наконец, для дважды ковариантного тензорного поля, то есть поля типа (0,2),