Zbieżność jednostajna
Z Wikipedii
Zbieżność jednostajna – własność ciągu funkcji o wartościach w danej przestrzeni metrycznej opisywana w następujący sposób:
Przypuśćmy, że X jest niepustym zbiorem, a (Y,ρY) jest przestrzenią metryczną. Niech (dla ). Powiemy, że ciąg funkcji jest jednostajnie zbieżny do funkcji jeżeli
Zapis ten można rozumieć w następujący sposób:
Jeśli ciąg funkcji jest zbieżny jednostajnie do funkcji f to mówimy też, że f jest granicą jednostajną ciągu .
Spis treści |
[edytuj] Rys historyczny
- W 1821, Augustin Louis Cauchy opublikował błędny dowód stwierdzenia, że granica punktowa ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Joseph Fourier i Niels Henrik Abel podali kontrprzykład dla tego stwierdzenia używając szeregów Fouriera.
- Dirichlet zanalizował argumenty Cauchy'ego, znalazł błąd i wskazał dodatkowe założenie potrzebne dla ciągłości funkcji granicznej: zbieżność jednostajną.
- W 1906, Maurice Fréchet opublikował metrykę zbieżności jednostajnej[1] (chociaż twierdził on, że ta metryka była już rozważana wcześniej przez Karla Weierstrassa).
[edytuj] Przykłady
- Każdy ciąg stały jest zbieżny jednostajnie (do swojego stałego wyrazu).
- Granica jednostajna ciągu funkcji które nie są ciągłe w żadnym punkcie może być ciągła. Rozważmy np funkcję Dirichleta i połóżmy dla . Wówczas ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji stałej f(x) = 0.
- Na mocy twierdzenia Weierstrassa, każda funkcja ciągła jest granicą jednostajną ciągu wielomianów.
- Rozważmy funkcje dane przez formułę fn(x) = xn dla (gdzie ). Niech będzie dana przez
- Wówczas ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji f, ale nie jednostajnie.
[edytuj] Podstawowe własności
- Zbieżność jednostajna implikuje zbieżność punktową.
- Jeśli oraz ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji f a ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji g, oraz to
-
- (a) ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji ,
- (b) jeśli dodatkowo funkcje f i g są ograniczone, to ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji ,
- (c) jeśli dodatkowo funkcje f i g są ograniczone oraz dla pewnego M > 0 mamy, to ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji .
- Jeśli są ciągłe, ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji f oraz , to zbiega jednostajnie do f.
- Jeśli X, Y są przestrzeniami metrycznymi, są funkcjami ciągłymi, oraz jest zbieżny jednostajnie do funkcji , to f jest funkcją ciągłą.
- Jeśli są różniczkowalne, ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji f oraz ciąg funkcji pochodnych zbiega jednostajnie do funkcji g, to funkcja f jest różniczkowalna i f' = g.
[edytuj] Pojęcia pokrewne
Austriacki matematyk Hans Hahn wprowadził w 1921[2] następujące pojęcia.
Niech X, Y będą przestrzeniami metrycznymi, będą dowolnymi funkcjami (dla ).
- Powiemy że ciąg zbiega ciągle do funkcji f jeśli
- dla każdego ciągu elementów przestrzeni X, jeśli to .
- Mówimy że ciąg zbiega ciągle w silnym sensie do funkcji f jeśli
- dla każdego ciągu elementów przestrzeni X, jeśli ciąg jest zbieżny (w przestrzeni Y) to także ciąg jest zbieżny oraz .
- Zbieżność jednostajna implikuje ciągłą zbieżność w silnym sensie.
- Jeśli Y jest przestrzenią zwartą, to zbieżność ciągła w silnym sensie implikuje zbieżność jednostajną (czyli wtedy oba pojęcia się pokrywają).
- Jeśli X jest przestrzenią zwartą, to ciągła zbieżność implikuje zbieżność jednostajną. Stąd, przy założeniu zwartości X, dla funkcji ciągłych oba pojęcia pokrywają się.
Czytelnik może znaleźć więcej informacji w monografii Kazimierza Kuratowskiego[3].
[edytuj] Przestrzeń funkcji ciągłych z metryką zbieżności jednostajnej
Niech X, Y będą przestrzeniami metrycznymi a będzie zbiorem wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni X w przestrzeń Y. Dla określamy
Wówczas d jest metryką na zbiorze - nazywamy ją metryką zbieżności jednostajnej.
- Jeśli X jest przestrzenią zwartą, to topologia zbieżności jednostajnej na zgadza się z tzw topologią naturalną (zwaną też topologią zwarto-otwartą) która jest generowana przez podbazę złożoną ze wszystkich zbiorów
- Jeśli X jest przestrzenią zwartą a Y jest przestrzenią zupełną, to również jest przestrzenią zupełną.
- jest przestrzenią polską.
[edytuj] Bibliografia
- ↑ Maurice Fréchet; Sur quelques points du calcul fonctionnel; Rend. del Circ. Mat. di Palermo, 22 (1906), 1-74.
- ↑ Hahn, Hans: Theorie der reellen Funktionen. Berlin: J. Springer, 1921.
- ↑ Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966.