Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Twierdzenie Weierstrassa w analizie matematycznej mówi, że każdą funkcję ciągłą o wartościach rzeczywistych na przedziale domkniętym $[a, b]$ można przybliżyć jednostajnie z dowolną dokładnością wielomianami. Twierdzenie to zostało znacznie uogólnione przez amerykańskiego matematyka Stone'a i w tej ogólnej postaci jest ono dzisiaj znane jako twierdzenie Stone'a-Weierstrassa.

[edytuj] Historia

W 1885, niemiecki matematyk Karl Weierstraß udowodnił że każda funkcja ciągła z odcinka domkniętego w liczby rzeczywiste ${\mathbb R}$ jest granicą jednostajną wielomianów o współczynnikach rzeczywistych^[1]. Nie znaczy to jednak, że wielomianami można przybliżyć dowolną funkcję na całej jej dziedzinie. Poza odcinkiem na którym przybliżenie będzie całkiem niezłe, wielomian może zachowywać się katastrofalnie, niezależnie od stopnia. Np. funkcji trygonometrycznych, funkcji wykładniczej, logarytmu itd., nie da się sensownie przybliżyć (na całej dziedzinie) wielomianami niezależnie od stopnia.

W 1937, amerykański matematyk Marshall Harvey Stone uogólnił to twierdzenie^[2] a dziesięć lat później znacznie uprościł on dowód^[3]. Współcześnie, ogólna forma tego twierdzenia (udowodniona przez Stone'a) jest znana jako twierdzenie Stone'a-Weierstrassa.

[edytuj] Definicje

Niech $(X,τ)$ będzie przestrzenią topologiczną.

${\mathcal C}(X)$ jest zbiorem wszystkich funkcji ciągłych z $X$ w ${\mathbb R}$ . Zbiór ten jest wyposażony w strukturę pierścienia przez określenie operacji $+,\cdot$ tak, że $(f + g)(x) = f (x) + g (x)$ i $(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$ (dla $f,g\in {\mathcal C}(X)$ i $x\in X$ ).
Powiemy, że rodzina funkcji ${\mathcal R}\subseteq {\mathcal C}(X)$ rozdziela punkty jeśli dla każdych dwoćh różnych punktów $x,y\in X$ można znaleźć funkcję $f\in {\mathcal R}$ taką, że $f(x)\neq f(y)$ .
Topologia zbieżności jednostajnej na ${\mathcal C}(X)$ jest zadana przez metrykę $d$ taką, że

$d(f,g)=\sup\big\{\min(1,|f(x)-g(x)|):x\in X\big\}$ dla $f,g\in {\mathcal C}(X)$ .

[edytuj] Twierdzenie

Załóżmy, że

(a)

X

jest przestrzenią zwartą,

(b) ${\mathcal R}\subseteq {\mathcal C}(X)$ jest podpierścieniem zawierającym wszystkie funkcje stałe,

(d) ${\mathcal R}$ rozdziela punkty.

Wówczas ${\mathcal R}= {\mathcal C}(X)$ .

Tak więc, przy założeniach (a) i (b) sformułowanych powyżej,

${\mathcal R}$ jest gęstym podzbiorem ${\mathcal C}(X)$ (w topologii zbieżności jednostajnej) wtedy i tylko wtedy gdy ${\mathcal R}$ rozdziela punkty.

[edytuj] Bibliografia

↑ Karl Weierstraß. Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885 (II), 633–639, 789–805
↑ Marshall Harvey Stone. Applications of the theory of Boolean rings to general topology. Trans. Amer. Math. Soc. 41 (1937), no. 3, 375-481.
↑ Marshall Harvey Stone. The generalized Weierstrass approximation theorem. Math. Mag. 21, (1948). 167-184, 237-254.

[edytuj] Zobacz też

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../t/w/i/Twierdzenie_Stone%27a-Weierstrassa_01d8.html"

Kategorie: Topologia • Analiza matematyczna • Twierdzenia matematyczne

Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Historia

[edytuj] Definicje

[edytuj] Twierdzenie

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach