Lichaam (Ned) / Veld (Be)

Algebraïsche structuren
Monoïde Groep Ring / Ideaal Lichaam/Veld
Moduul Vectorruimte Algebra
Categorie Tralie Boole-algebra

Een lichaam (Nederlandse term) of veld (Belgische term) is een algebraïsche structuur die in het Engelse taalgebied wordt aangeduid met 'field', en in het Duitse taalgebied met 'Körper'. Is het aantal elementen van het lichaam eindig dan spreekt men van een eindig lichaam.

Een lichaam is een verzameling die is uitgerust met de bewerkingen optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling (men mag niet delen door nul), waarbij de verzameling voor deze bewerkingen gesloten is (het resultaat van een bewerking moet weer een element zijn van de verzameling) en bovendien optelling en de vermenigvuldiging beiden associatief en commutatief zijn. Bovendien is de vermenigvuldiging distributief ten opzichte van de optelling.

Meer formeel is een lichaam (Ned.) / veld (Be.) een tripel (K, +, $\times$ ) bestaande uit een verzameling K die niet leeg is, waarop twee bewerkingen: een optelling '+' en een vermenigvuldiging ' $\times$ ', zijn gedefinieerd die voldoen aan een aantal voorwaarden. De optelling van twee elementen a en b uit K noteert men meestal met a+b en de vermenigvuldiging van a en b met a*b, a.b, $a\times b$ , of kortweg ab. De voorwaarden waaraan de optelling en de vermenigvuldiging moeten voldoen zijn:

Voor alle elementen a en b uit K, zullen a+b en a*b weer tot K behoren.
K is gesloten voor de optelling en de vermenigvuldiging
Voor alle elementen a, b en c uit K, zal (a + b) + c = a + (b + c) en (a*b)*c=a*(b*c).
De optelling en de vermenigvuldiging zijn associatief.
Er bestaat een element 0 uit K zodat voor alle a uit K geldt dat a+0 = 0 + a = a.
Men noemt 0 het neutraal element (voor de optelling).
Voor elk element a uit K bestaat er een element -a uit K zodat a+(-a) = 0 en -a + a = 0.
Elk element uit K heeft een invers element voor de optelling.
Voor alle elementen a en b uit K zal a + b = b + a.
De optelling is commutatief.
Voor alle elementen a, b en c uit K, zal a*(b+c) = a*b + a*c.
De vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling.
Er bestaat een element 1 uit K zodat voor elk element a uit K geldt dat 1*a = a * 1 = a.
Dit element is dus neutraal element voor de vermenigvuldiging; men noemt 1 het eenheidselement van K.
Voor elke element a uit K met a verschillend van 0 bestaat er een element a^-1 uit K zodat a*a^-1 = 1 = a^-1*a.
Elk niet-nul element uit K heeft een invers element voor de vermenigvuldiging.
Voor alle elementen a en b uit K zal a*b = b*a.
De vermenigvuldiging is commutatief.
0 is niet gelijk aan 1.

Indien aan deze laatste voorwaarde niet voldaan zou zijn, maar aan de andere wel, dan zou de verzameling slechts één element bevatten, namelijk 0.

Voorwaarden één tot en met zes drukken uit dat (K, +, $\times$ ) ook een ring is. Wordt aan alle bovengenoemde voorwaarden voldaan behalve dat de vermenigvuldiging commutatief is (voorwaarde negen), dan is er sprake van een delingsring (Nederlandse term) of lichaam (Belgische term).

Merk op dat voorwaarden drie, vier, vijf en respectievelijk zeven, acht en negen, analoge voorwaarden zijn. Voorwaarden drie, vier en vijf zeggen iets over de optelling, terwijl voorwaarden zeven, acht en negen iets zeggen over de vermenigvuldiging.

De aftrekking wordt gedefineerd door a - b = a + (-b). De deling (door een niet-nul element) wordt gedefinieerd door a/b = a*(b^-1).

[bewerk] Alternatieve formulering

Men kan het ook aldus formuleren: (K, +, $\times$ ) is een lichaam (Ned.) of veld (Be.) indien:
$\to$ (K, +) een commutatieve groep is
$\to$ (K\{0}, $\times$ ) een commutatieve groep is
$\to$ de bewerking $\times$ distributief is ten opzichte van de bewerking +

[bewerk] Voorbeelden

De reële getallen ( $\mathbb{R}$ ) met de gewone optelling en vermenigvuldiging vormen een commutatief lichaam; idem voor de rationale getallen ( $\mathbb{Q}$ ) en de complexe getallen ( $\mathbb{C}$ ).