Hilbert-matrix

Inhoud

1 Definitie
2 Inverse van de Hilbert-matrix
- 2.1 Voorbeelden van inverse Hilbert-matrices
3 Zie ook
4 Bronnen
5 Weblinks

[bewerk] Definitie

De Hilbert-matrix van de orde $n\ (n>0)$ is de volgende kwadratische, symmetrische, positief definiete matrix:

$H_n = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots & \frac{1}{n} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \cdots & \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \cdots & \frac{1}{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+2} & \cdots & \frac{1}{2n-1} \end{pmatrix}$ , de afzonderlijke elementen zijn dus $h_{ij} = \frac{1}{i+j-1}$ .

Deze matrix is door de Duitse wiskundige David Hilbert in 1894 voor het eerst beschreven in verband met de theorie van de polynomen van Legendre. Omdat deze matrix positief definiet is, is die ook inverteerbaar, met andere woorden, de inverse matrix bestaat. Omdat de matrix inverteerbaar is, is een systeem van lineaire vergelijkingen met de coëfficiënten van de Hilbert matrix als coëfficiënten van de vergelijkingen oplosbaar. Het probleem met deze matrices is echter, dat de matrix en ook het systeem van lineaire vergelijkingen, numeriek slecht geconditioneerd zijn. Bij het oplossen van de vergelijkingen of bij het berekenen van de inverse verschijnen zeer grote positieve en negatieve getallen als tussenresultaten. Als deze berekening met een computer wordt uitgevoerd, kunnen zeer grote afrondingsfouten gemaakt worden of kan zelfs de berekening afgebroken worden.

Naarmate $n$ groter is, is dit probleem ernstiger. Het conditiegetal groeit exponentieel met $n$ ; het conditiegetal van $H 3$ is bijvoorbeeld 526,16 (Frobeniusnorm), van $H 4$ is het al 15.613,8.

De Hilbert-matrix is door zijn slechte numerieke conditie het klassieke testgeval voor alle computerprogramma's die matrices inverteren om systemen van lineaire vergelijkingen op te lossen zoals bijvoorbeeld Gauss-eliminatie, LU-decompositie, Cholesky-decompositie, enzovoort. Hoe groter $n$ gekozen wordt, des te scherper de test is.

[bewerk] Inverse van de Hilbert-matrix

Bij zulke tests komt het goed uit, dat de coëfficiënten van de inverse Hilbert-matrix afwisselend positieve en negatieve gehele getallen zijn, die direct en precies berekend kunnen worden door middel van de volgende formule:

$(H^{-1}_n)_{i, j}\ =\ \frac{(-1)^{i+j}}{(i+j-1)}\ \frac{(n+i-1)! (n+j-1)!}{((i-1)!(j-1)!)^2(n-i)!(n-j)!}$

wat men ook met hulp van binomiaalcoëfficiënten kan aangeven:

$(H^{-1}_n)_{i, j}\ =\ (-1)^{i+j}(i+j-1){n+i-1 \choose n-j}{n+j-1 \choose n-i}{i+j-2 \choose i-1}^2$ .

In het speciale geval van $i = j = 1$ komt dat neer op:

$(H^{-1}_n)_{1, 1}\ =\ n^2$

Hierdoor kunnen de numerieke afwijkingen die in het computerprogramma bij het inverteren van de matrix ontstaan met het exacte resultaat vergeleken worden.

[bewerk] Voorbeelden van inverse Hilbert-matrices

Exacte inverse $H_4^{-1}\ =\ \begin{pmatrix} 16 & -120 & 240 & -140 \\ -120 & 1200 & -2700 & 1680 \\ 240 & -2700 & 6480 & -4200 \\ -140 & 1680 & -4200 & 2800 \end{pmatrix}$

Exacte inverse $H_5^{-1}\ =\ \begin{pmatrix} 25 & -300 & 1050 & -1400 & 630 \\ -300 & 4800 & -18900 & 26880 & -12600 \\ 1050 & -18900 & 79380 & -117600 & 56700 \\ -1400 & 26880 & -117600 & 179200 & -88200 \\ 630 & -12600 & 56700 & -88200 & 44100 \end{pmatrix}$

[bewerk] Zie ook

Numerieke wiskunde

[bewerk] Bronnen

Bron(nen):

David Hilbert: Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms. Acta Mathematica, vol. 18, 155-159, 1894 (in het Duits)
Gene H. Golub & Charles F. Van Loan: Matrix computations. Johns Hopkins University Press, 1996 (3rd edition) ISBN 0-80185414-8 (in het engels)