Harmonisch getal

In de wiskunde wordt voor ieder geheel getal n het n-de harmonisch getal gedefinieerd als:

$H_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ .

Het gaat hier zoals te zien om rationele getallen en indien de sommatie uitgewerkt wordt leidt dit tot breuken met oneven tellers en even noemers:

Inhoud

1 Harmonische getallen
2 Verwantschappen
3 Zie ook
4 Bibliografie
5 Externe koppelingen

[bewerk] Harmonische getallen

Concreet zijn de eerste leden uit de reeks van de harmonische getallen als volgt:

$\,0,~1,~3/2,~11/6,~25/12,~137/60,~49/20,~363/140,~761/280,~7129/2520,~7381/2520,$

$\,83711/27720,~86021/27720,~1145993/360360,~1171733/360360,~1195757/360360,$

$\,2436559/720720,~42142223/12252240,~14274301/4084080,~275295799/77597520,$

$\,55835135/15519504,~18858053/5173168,~19093197/5173168,~444316699/118982864,$

$\,1347822955/356948592,~34052522467/8923714800,~34395742267/8923714800$

De tellers van de harmonische getallen worden de getallen van Wostenholme genoemd en vormen de reeks A001008 uit OEIS. De noemers vormen de reeks A002805 uit OEIS.

De harmonische getallen vormen de afgekapte sommen van de harmonische reeks, algemeen bekend als divergent. Ze zijn verwant aan wat je de alternerende harmonische getallen kunt noemen:

$H'_n := \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\cdot\frac{1}{k}$ .

Dit zijn de afgekapte sommen van de alternerende harmonische reeks, algemeen bekend als convergent en ze zijn uit te drukken in de harmonische getallen met de formule

$H'_{2n} = H_{2n}-H_n \qquad H'_{2n+1} = H_{2n}-H_n+\frac{1}{2\cdot n+1}$

De harmonische getallen (en daardoor ook de alternerende harmnische getallen) kunnen analytisch als volgt uitgedrukt worden:

$\,H_n = \gamma + \Psi(n)\,$

waabij γ de constante van Euler-Mascheroni en ψ(n) de digammafunctie is (welke weer in de gammafunctie uit te drukken is)

$\Psi(z) \equiv \psi_0(z) := \frac{d}{dz} \ln (\Gamma(z)) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$

Bijgevolg vinden de harmonische getallen alsook de alternerende harmonische getallen hun oorsprong in twee analytische functies.

[bewerk] Verwantschappen

De harmonische getallen en de gegeneraliseerde harmonische getallen worden gebruikt is verschillende disciplines binnen de wiskunde zoals de combinatoriek en de studie van speciale functies. Binnen de speciale functies spelen ze bijvoorbeeld een rol bij de polygammafunctie en de polyalgoritmische functie, in de zetafunctie van Riemann en verder komen ze voor binnen redente ontwikkelingen binnen de grote algemeenheid zoals enkele verwante vragen binnen de benadering van Hermite - Padé.

[bewerk] Zie ook

Identieit van de harmonische getallen

[bewerk] Bibliografie

R. L. Graham, D. E. Knuth and O. Patashnik (1990): Concrete Mathematics, Addison-Wesley, bladzijde 259.
D. E. Knuth: The Art of Computer Programming. Addison-Wesley, volume 1, bladzijde 615.