Numero armonico

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In matematica, per ogni intero naturale n si definisce come n-esimo numero armonico

$H_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ .

Si tratta evidentemente di numeri razionali e si dimostra che le corrispondenti frazioni ridotte ai minimi termini hanno numeratore dispari e denominatore pari.

In concreto i primi termini della successione dei numeri armonici sono:

$\,~1,~3/2,~11/6,~25/12,~137/60,~49/20,~363/140,~761/280,~7129/2520,~7381/2520,$

$\,83711/27720,~86021/27720,~1145993/360360,~1171733/360360,~1195757/360360,$

$\,2436559/720720,~42142223/12252240,~14274301/4084080,~275295799/77597520,$

$\,55835135/15519504,~18858053/5173168,~19093197/5173168,~444316699/118982864,$

$\,1347822955/356948592,~34052522467/8923714800,~34395742267/8923714800$

I numeratori dei numeri armonici sono detti numeri di Wostenholme e costituiscono la successione A001008 di OEIS. I denominatori costituiscono la successione A002805 di OEIS

I numeri armonici costituiscono le somme troncate della serie armonica, notoriamente divergente. Essi sono strettamente collegati a quelli che si possono chiamare numeri armonici alternati

$H'_n := \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\frac{1}{k}$ .

Questi sono le somme troncate della serie armonica alternata notoriamente convergente e sono esprimibili mediante i numeri armonici dalle formule

$H'_{2n} = H_{2n}-H_n \qquad H'_{2n+1} = H_{2n}-H_n+\frac{1}{2n+1}$

I numeri armonici (e quindi qnche i numeri armonici alternati) si possono esprimere analiticamente come

$\,H_n = \gamma + \Psi(n)\,$

mediante la costante di Eulero - Mascheroni e la funzione digamma (e di conseguenza mediante la funzione gamma)

$\Psi(z) \equiv \psi_0(z) := \frac{d}{dz} \ln \Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$

Quindi i numeri armonici e numeri armonici alternati danno origine a due funzioni analitiche.

[modifica] Collegamenti

I numeri armonici e i numeri armonici generalizzati che li comprendono si incontrano in numerosa aree della matematica riferibili alla combinatoria e allo studio delle funzioni speciali. Essi intervengono nello studio di funzioni speciali particolari, ad es. della funzione poligamma e la funzione polilogaritmo, oltre alla citata funzione zeta di Riemann; essi inoltre si incontrano in recenti sviluppi di elevata generalità, come le questioni collegate all'approssimazione di Hermite-Padé.

[modifica] Bibliografia

R. L. Graham, D. E. Knuth and O. Patashnik (1990): Concrete Mathematics, Addison-Wesley, p. 259.
D. E. Knuth: The Art of Computer Programming. Addison-Wesley, Vol. 1, p. 615.