Divergentiestelling
In de vectoranalyse, is de divergentiestelling of Stelling van Gauss een formule die de divergentie van een vectorveld relateert aan de waarde van de oppervlakte-integralen van de flux van het veld. De divergentiestelling is een belangrijk resultaat voor de wiskundige achtergrond van de fysica, in het bijzonder in de elektrostatice en hydrodynamica.
[bewerk] Intuïtie
De intuïtieve inhoud is eenvoudig: wanneer er water stroomt in een bepaald gebied, en je bent geïnteresseerd in hoeveel water uit een bepaalde regio in dat gebied stroomt, dan moet je alle bronnen binnen die regio optellen, en alle afvoeren daarvan aftrekken. De waterstroom wordt voorgesteld door een vectorveld, en de divergentie van het veld op een bepaald punt beschrijft de sterkte van de bron of de afvoer op die plaats. Dus wanneer men de divergentie van het veld integreert over het inwendige van de regio, dan zou men hetzelfde resultaat moeten bekomen als de integraal van het vectorveld langs de grens van de regio. Dit is wat de divergentiestelling uitdrukt. De divergentiestelling is dus een behoudswet, die stelt dat het totaal volume van alle bronnen en afvoeren, i.e. de volume-integraal van de divergentie, gelijk is aan de netto stroom doorheen de randen van het volume.
[bewerk] Formele uitdrukking
Stelt dat V een subset is van Rn (beschouw nu bijvoorbeeld het geval n=3), dat een compact is, en waarbij de rand \partial{V} bestaat uit een eindig aantal gladde oppervlakken. Als F een continu afleidbaar vectorveld is, gedefinieerd over de omgeving van V, dan hebben we
waar S = ∂V de grens is van V, geöriënteerd door naar buiten gerichte normalen, en dS is een korte schrijfwijze voor NdS, de naar buiten gerichte normaal van de grens ∂V.
Merk op dat dit theorema de meer algemene stelling van Stokes volgt, die de fundamentele stelling van de analyse generaliseert.
[bewerk] Geschiedenis
Dit theorema werd het eerst ontdekt door Joseph-Louis Lagrange in 1762, en later onafhankelijk opnieuw ontdekt door Carl Friedrich Gauss in 1813, door George Green in 1825 en in 1831 door Mikhail Vasilievich Ostrogradsky, die ook het eerste bewijs leverde. Variaties op de divergentiestelling werden dan ook naar hen genoemd.
Dit artikel was oorspronkelijk gebaseerd op het GFDL artikel uit PlanetMath op http://planetmath.org/encyclopedia/Divergence.html
