Differentiaalvergelijking

Een differentiaalvergelijking (afk.: DV) is een wiskundige vergelijking voor een functie waarin, naast eventueel de functie zelf, een of meer van de afgeleiden van die functie voorkomen. Betreft het een functie van meer dan één veranderlijke, dan zijn het de partiële afgeleiden die in de vergelijking voorkomen en spreken we van een partiële differentiaalvergelijking.

Een oplossing van een differentiaalvergelijking is een functie die aan deze relatie voldoet. In het algemeen is een oplossing niet uniek.

In de natuurkunde en de toepassingen daarvan in de techniek komen verschijnselen voor die niet expliciet beschreven worden door een functie, maar impliciet door een relatie tussen een functie en een of meer van z'n afgeleiden, dus door een differentiaalvergelijking.

Inhoud

1 Definitie
2 Lineaire differentiaalvergelijking
- 2.1 Constante coëfficiënten
3 Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen
- 3.1 Voorbeeld
4 Begin- en randvoorwaarden
- 4.1 Lineaire vergelijkingen
- 4.2 Een partiële differentiaalvergelijking
5 Differentievergelijkingen
6 Zie ook

[bewerk] Definitie

Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin als onbekende een functie f van een of meer veranderlijken voorkomt in de vorm van een of meer van z'n afgeleiden.

We voeren de volgende notatie in:

$f'=\frac{df}{dx}$ (de eerste afgeleide); $f''=\frac{d^2f}{dx^2}$ (de tweede afgeleide); $f^{(n)} = \frac{d^n f}{dx^n}$ .

De algemene vorm van een differentiaalvergelijking voor een functie f van één variabele x is dan:

$F(x, f, f^\prime, f^{\prime\prime}, \dots) = 0$ .

De orde van een differentiaalvergelijking is de orde van de hoogste afgeleide van $f$ die in $F$ voorkomt. Een $n e$ orde differentiaalvergelijking heeft dus de volgende vorm:

$F(x, f, f^\prime, f^{\prime\prime}, \dots, f^{(n)}) = 0$ .

[bewerk] Lineaire differentiaalvergelijking

Een DV van de vorm:

$c_n(x)f^{(n)}(x)+c_{n-1}(x)f^{(n-1)}(x) +...+c_1(x) f'(x)+c_0(x)f(x)=g(x)\!$

heet een lineaire differentiaalvergelijking.

Als $g(x)\equiv 0$ , heet de DV homogeen, anders inhomogeen.

[bewerk] Constante coëfficiënten

We spreken van een lineaire DV met constante coëfficiënten, als de coëfficiënten $(c_i)\!$ reële of complexe constanten zijn, dus onafhankelijk van x.

[bewerk] Algemene oplossingsmethode

Voor homogene lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten:

$c_n f^{(n)}+c_{n-1}f^{(n-1)} +...+c_1 f'+c_0 f = 0\!$

bestaat een algemene oplossingsmethode. Daarbij wordt uitgegaan van een oplossing van de vorm:

$f(x)=e^{ax}\!$ .

Door invullen in de DV reduceert de vergelijking tot de volgende vergelijking voor de parameter a:

$\! c_n a^n+c_{n-1} a^{n-1} +...+c_1 a+c_0 = 0$ .

Dit is een gewone polynomiale vergelijking in a, met in het algemeen n oplossingen $a_1,\cdots,a_n$ , waarvan er eventueel kunnen samenvallen. Als alle n oplossingen verschillend zijn, wordt de algemene oplossing van de DV gegeven door een lineaire combinatie van de afzonderlijke e-machten:

$f(x) = A_1e^{a_1x}+A_2e^{a_2x}+\cdots +A_ne^{a_nx}$ ,

waarin de coëfficiënten $(A i)$ nog vrij gekozen kunnen worden. Meestal worden de coëfficiënten vastgelegd door de beginvoorwaarden.

[bewerk] Voorbeeld 1

We zoeken de oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

$f''+f=0 \!$ .

We kunnen dat zien als: zoek een functie, die als tweede afgeleide zijn eigen tegengestelde heeft. We weten al dat de sinus en de cosinus deze eigenschap hebben.

Volgens de boven uiteengezette oplossingsmethode, moeten we de vierkantsvergelijking:

$a^2+1=0\!$

oplossen. Deze heeft twee oplossingen: $a 1 = i$ en $a 2 = - i$ .

De algemene oplossing van de DV wordt dus:

$f(x)=A_1 e^{ix} + A_2 e^{-ix}\!$ .

We zien dat door geschikte keuze van $A 1 en A 2$ inderdaad de sinus en de cosinus als oplossing tevoorschijn komen.

[bewerk] Voorbeeld 2

Als tweede voorbeeld nemen we een inhomogene lineaire tweede orde differentiaalvergelijking:

$4 f^{\prime\prime}(x) + f(x) = \sin(x)$ .

De algemene strategie om alle oplossingen te vinden is:

vind de algemene oplossing van de homogene DV;
zoek een oplossing, particuliere oplossing genoemd, van de inhomogene DV;
de algemene oplossing van de inhomogene DV wordt verkregen door bij de particuliere oplossing de algemene oplossing van de homogene DV op te tellen.

[bewerk] Homogene DV

Deze luidt:

$\!4 f^{\prime\prime}(x) + f(x) = 0$ .

De op te lossen veelterm wordt dan:

$\!4a^2+1=0$

De oplossingen daarvan zijn: $a_1=\frac{1}{2}i\mbox{ en } a_2=-\frac{1}{2}i$

Dat geeft als algemene oplossing van de homogene DV:

$f_H(x)=A_1 e^{\frac{1}{2}ix}+A_2 e^{-\frac{1}{2}ix}$ .

We kunnen dit herschrijven als

$f_H(x) = A \sin\left(\frac{1}{2}x\right) + B \cos\left(\frac{1}{2}x\right)$

[bewerk] Particuliere oplossing

We zoeken een functie die aan de gegeven inhomogene DV voldoet. Aangezien de tweede afgeleide van een sinus weer een sinus oplevert, zij het met een min-teken, proberen we:

$\!f_P(x)=a \sin(x)$

als mogelijke oplossing. Invullen levert:

$\!-4 a \sin(x)+ a \sin(x)=\sin(x)$ ,

waaruit volgt

$\!a = -\frac{1}{3}$ .

Een particuliere oplossing is dus:

$f_P(x)= -\frac{1}{3} \sin(x)\!$

De algemene oplossing is de som van de algemene oplossing $f H (x)$ van de homogene DV en de gevonden particuliere oplossing $f P (x) =$ :

$f(x) = A \sin\left(\frac{1}{2}x\right) + B \cos\left(\frac{1}{2}x\right) - \frac{1}{3}\sin(x)$ .

[bewerk] Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen

Lineaire differentiaalvergelijkingen zijn eenvoudig en uniform op te lossen (zie algoritme hierboven), en vanaf het begin is al gekend hoeveel vrijheidsgraden er zullen optreden.

Het oplossen van niet-lineaire differentiaalvergelijkingen is een stuk moeilijker en onoverzichtelijk. Dit type DV's kunnen we eenvoudiger behandelen met een andere notatie, die van Leibniz/Newton: de afgeleide van een functie f(t) wordt dan genoteerd als $\frac{df}{dt}$ i.p.v. f'(t)

[bewerk] Voorbeeld

We wensen de volgende DV op te lossen (met C een constante):

$t \frac{df}{dt} (t)=C$

We gebruiken de methode van "scheiding der variabelen", en herschrijven als volgt, alles met f naar het linkerlid en alles met t naar het rechterlid:

$df=C \frac{dt}{t}$

We integreren beide kanten (constante mag voorop geplaatst worden):

$\int{df(t)}=C \int{\frac{dt}{t}}$

We berekenen de integralen, wat ons de oplossing geeft:

$\frac{}{}f(t)=C ln(t) + C'$

[bewerk] Begin- en randvoorwaarden

Om een eenduidige oplossing van een differentiaalvergelijking te krijgen, moeten randvoorwaarden opgelegd worden. In het algemeen kan gesteld worden dat voor een n^e orde differentiaalvergelijking n verschillende randvoorwaarden nodig zijn.

Bijvoorbeeld: de 1^e orde differentiaalvergelijking

$f'(t) = f(t)\!$

heeft als algemene oplossing $f (t) = A e t$ , waarbij A nog onbepaald is. Door de beginvoorwaarde $f (0) = 1$ op te leggen, wordt de oplossing eenduidig bepaald als $f (t) = e t$ .

[bewerk] Lineaire vergelijkingen

Men kan bewijzen, dat een lineaire differentiaalvergelijking van n^e orde, met randvoorwaarden

$\!y(x_0)=y_1$ ,

$\!y'(x_0)=y_2$ , tot

$\!y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}$

één unieke continu oplossing heeft.

[bewerk] Een partiële differentiaalvergelijking

Een aantal verschijnselen in de fysica is te beschrijven met behulp van gewone of partiële differentiaalvergelijkingen. Bijvoorbeeld de trilling van een snaar wordt beschreven door, in dimensieloze vorm

$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2u}{\partial t^2},\!$

waarbij $u (x, t)$ de uitwijking van de snaar is, x de positie van de snaar (van 0 aan het ene eind tot 1 aan het andere eind) en t de tijd. Deze partiële differentiaalvergelijking is 2^e orde in de tijd en 2^e orde in de plaats. Er zijn dus 2 randvoorwaarden in de tijd ("beginvoorwaarde") nodig, bv.

$u(x,0)=f(x),~~\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=g(x)\!$