Boldriehoeksmeting
De boldriehoeksmeting of sferische trigonometrie is een belangrijk deelgebied van de bolmeetkunde. Ze houdt zich voornamelijk bezig met de berekening van de elementen (zijden en hoeken) van boldriehoeken.
Typische toepassingen zijn:
- Afstandsberekeningen tussen twee punten op het aardoppervlak als hun geografische coördinaten gegeven zijn.
- Bepaling van de positie van een ster aan de hemelbol met behulp van de sterrenkundige driehoek.
[bewerk] Historische achtergrond
De ontwikkeling van de boldriehoeksmeting is nauw verbonden met astronomie. Omstreeks 350 jaar voor Christus dachten de oude Grieken daarom reeds over bolmeetkunde na. Maar het zijn de Arabieren, die voortbouwend op hetgeen de Grieken en de Indiërs ontdekt hadden in het jaar 900 de sinusregel ontdekten. Tijdens de ontdekkingsreizen van de 15de eeuw ontstond er een grote behoefte aan hulpmiddelen voor het bepalen van afstanden en posities op zee. Het is rond deze periode dat de boldriehoeksmeting een forse ontwikkeling doormaakte. De sinusregel, de tangensformules en cosinusregel voor de zijden van de driehoek werden in die tijd reeds aangewend. Een eeuw later vond men de cosinusregel voor de hoeken (de tweede cosinusregel). In de 17e eeuw werden nieuwe wiskundige technieken zoals de logaritmen ontwikkeld en werden de nieuwe methoden van de boldriehoeksmeting op vele gebieden, zoals de cartografie, toegepast.
[bewerk] De Boldriehoek
A,B,C zijn drie punten van een boloppervlak (zie figuur 1), die met het middelpunt O niet in eenzelfde plat vlak liggen. Als men nu deze punten twee aan twee verbindt door grote cirkelbogen die kleiner zijn dan halve cirkels dan ontstaat een boldriehoek. De punten A,B en C zijn de hoekpunten, de bogen BC(=a),CA(=b),AB(=c) zijn de zijden, de bolhoeken BAC(
), CBA(
), ACB(
) zijn de hoeken van de driehoek.
In de bolmeetkunde bewijst men dat:
- elke zijde van een boldriehoek kleiner is dan de som van de beide andere;
- de omtrek van een boldriehoek kleiner is dan die van een grote cirkel
[bewerk] Grondformule
De grondformule van de boldriehoeksmeting, ook wel de eerste cosinusregel genoemd, is de betrekking tussen de drie zijden en één hoek van een boldriehoek. Met behulp van de driehoeksmeting en enkele stellingen van de bolmeetkunde kan men alle formules uit deze grondformule afleiden. Als de boldriehoek ABC beschreven is op een bol met een straal van 1 (eenheidsbol), dan hebben we:
(G)
en evenzo
Men hoeft alleen de eerste formule te onthouden, de andere kunnen worden afgeleid door cyclische verwisseling van de letters.
[bewerk] De 
(Tau)-transformaties
[bewerk] Nevendriehoeken en Pooldriehoeken
De zijden AB en AC van driehoek ABC snijden elkaar een tweede maal in het tegenpunt A' van A (zie figuur 2). De driehoek A'BC heet de nevenhoek van ABC ten opzichte van de boltweehoek A. Noemt men a',b',c',A',B',C' de elementen van die nevenhoek, dan is
Elke op een boloppervlak gelegen cirkel heeft twee polen namelijk de eindpunten van de middellijn die loodrecht op het vlak van de cirkel staat.
Beschouw nu een boldriehoek ABC; de grote cirkel, waarvan BC deel uitmaakt, bepaalt twee halve bollen en heeft twee polen; noem A1 die welke met A op eenzelfde halve bol ligt. Op dezelfde wijze heeft men B1 en C1 en de driehoek A1B1C1 heet de pooldriehoek van ABC (zie figuur 3).
In de meetkunde bewijst men dat elke zijde van één der driehoeken en de overeenkomstige hoek van de andere driehoek elkaars supplement zijn. Daarmee is
Heeft men nu een betrekking tussen de elementen van een willekeurige boldriehoek van de vorm: 
dan geldt deze betrekking ook voor de nevenhoek en de pooldriehoek en men krijgt dus twee nieuwe betrekkingen:
of
(1)
en 
of
(2)
Men zegt dat deze betrekkingen door een -transformatie van elkaar kunnen worden afgeleid.
[bewerk] Begrippen van de algemene boldriehoek
Door R stelt men de straal van de bol en door de D=2R de diameter.
Stelt men 
dan is 
of 
. 
noemt men de halve omtrek
Het sferisch exces 2E van een boldriehoek is het verschil van de som der hoeken en een gestrekte hoek
. (E is positief en kleiner dan elke hoek).
[bewerk] Formules van de halve hoeken in functie van de zijden
(C)
(S)
[bewerk] De Sinusregel
Uit voorgaande formules volgt:
Dus de sinussen der hoeken van een boldriehoek verhouden zich als de sinussen der overstaande zijden.
[bewerk] De tweede Cosinusregel
Toepassing van de -transformatie op de grondformule (G) geeft:
en evenzo
De tweede cosinusregel wordt aan François Viète toegeschreven.
[bewerk] De Cotangensregel
Een betrekking tussen twee zijden, de ingesloten hoek en overstaande hoek noemt men de
cotangensregel.
[bewerk] De rechthoekige boldriehoek
Een driehoek heet rechthoekig als één van zijn hoeken b.v. recht is, en heten dan scheve hoeken; a is de schuine zijde en b en c zijn de rechthoekszijden.
Formules (voor een rechte hoek )
Als men in de voorgaande formules 
stelt dan krijgt men:
[bewerk] De Formules van Delambre
Delambre publiceerde in 1807 de volgende formules zonder bewijs:
[bewerk] De Analogieën van Neper
Als men de overeenkomstige leden van de formules van Delambre deelt dan bekomt men de analogieën van Neper:
[bewerk] Formules die uit het sferisch exces kunnen worden afgeleid
[bewerk] Uitdrukkingen voor de halve zijde
Toepassing van de 
-transformatie voor de pooldriehoek op de formules (C) en (S) geeft:
[bewerk] Uitdrukkingen voor het sferisch exces
(Formule van CAGNOLI)
(Formule van EULER)
(Formule van LHUILLIER)
De eerste en de laatste formule is reeds logaritmisch.
[bewerk] Toepassingen
[bewerk] Navigatie en afstandsbepaling op aarde
[bewerk] Definitie geografische coördinaten
De geografische coördinaten van een punt A op de aardbol zijn (zie Figuur 4):
1) de lengte 
en dit is de hoek die de meridiaan PAP' door A maakt met de nul meridiaan (PWP') (dit noemt men de meridiaan van Greenwich) of ook nog de tussen deze twee meridianen gelegen boog WA' aan de evenaar, men onderscheidt ooster- en westerlengte;
2) de breedte 
en dit is de sferische afstand AA' van het punt A tot de evenaar; men onderscheidt noorder- en zuiderbreedte.
[bewerk] Praktisch Voorbeeld 1
Gevraagd wordt de korste afstand tussen twee plaatsen op (een bolvormige) aarde wanneer de geografische coördinaten breedte 
, en lengte 
gekend zijn.
[bewerk] Korste afstand tussen Amsterdam Schiphol Airport ( EHAM) en Los Angeles International Airport (LAX)
Men verondersteld de aarde zuiver bolvormig. De geografische coördinaten van Schiphol zijn 
= 52º 18'31" 
= - 4º45'50" en deze van L.A. Int. Airport zijn 
33º56'33" 
118º24'29".
De grondformule (G) toegepast op de geografische driehoek PAB (zie Figuur 5) geeft:
met de moderne rekenmachines hoeft men niet meer op logaritmen over te gaan en berekent men rechtstreeks
of 
Nu is op aarde 1' = 1 zeemijl = 1852 m dus
De aarde is in werkelijheid een ellipsoïde, daarmede is de werkelijke afstand iets groter maar de afwijking langs de geodetische lijn op de ellipsoïde en deze op de grote cirkel verschilt minder dan 0,2 %. Daar een vliegtuig in werkelijkheid verplicht is vluchtroutes te volgens is de afstand die het aflegt merkelijk groter dan de boven berekende waarde.
[bewerk] Praktisch Voorbeeld 2
Gevraagd wordt de koers welke een schip bij afvaart moet nemen wanneer het, over de kortste
weg, van het punt A naar het punt B (waarvan de geografische coördinaten gekend zijn) vaart.
De koers van een schip is de hoek welke zijn vaarrichting maakt met de meridiaan naar noord.
[bewerk] Koers van een schip bij afvaart
Een schip vaart, over de kortste weg, van het punt A ( = 74°3'WL, 
33°2' ZB) naar het punt B (
=170°45' OL, 43°51'ZB). Welke koers moet het schip bij afvaart nemen ?
Van de nautische boldriehoek PAB (zie Figuur 6) zijn de twee zijden b en c en de ingesloten hoek gekend, het komt er dus op aan van de hoek te bepalen. De koers bij afvaart is dan gelijk aan 
.
Toepassing van de derde cotangensregel geeft:
Na enige rekenwerk bekomt men:
of
De koers bij afvaart moet dus 
zijn.
Om van het punt A naar het punt B te varen moet het schip trouwens een afstand van 9232,2 km afleggen. (zie voorbeeld 1)
