Logaritme

grafiek ln(x) en log₁₀(x)

De logaritme is een wiskundige functie, gewoonlijk afgekort tot log. De logaritme van een getal wordt berekend op basis van een grondtal, meestal het getal 10 (de Briggse logaritme) of het getal e. In het laatste geval spreekt men van de "natuurlijke logaritme", of naar de ontdekker John Napier, van de "Neperiaanse"of "Neperse" logaritme; vaak afgekort tot ln. De logaritme is een rekenkundige bewerking van de derde orde.

Inhoud

1 Definitie
- 1.1 Gewone of Briggse logaritme
- 1.2 Natuurlijke logaritme
2 Geschiedenis
3 Grootte-ordes en logaritmes
4 Andere grondtallen
5 Afgeleide
6 Gebruik van logaritmes
7 Rekenen met logaritmes
8 Logaritmes van complexe getallen
9 Logaritmes van quaternionen

[bewerk] Definitie

De logaritme voor het grondtal a van een getal x is de macht waartoe men het grondtal moet verheffen om x als uitkomst te krijgen, dus:

$q=\log_a(x) \Leftarrow \Rightarrow a^q=x$ .

Of anders geschreven:

$a^{\log_a(x)}=x$ .

Zowel het grondtal a als het argument x moeten groter zijn dan 0; bovendien mag a niet gelijk zijn aan 1.

De logaritme voor het grondtal a is dus de inverse van de exponentiële functie met a als grondtal. Wanneer men de grafiek van de logaritme voor het grondtal a spiegelt ten opzichte van de lijn y=x, krijgt men de grafiek van de functie $x \rightarrow a^x$ .

[bewerk] Gewone of Briggse logaritme

De gewone of Briggse logaritme, log, is de logaritme met het grondtal 10. Voor de komst van rekenmachines werd deze logaritme veel bij berekeningen gebruikt.

[bewerk] Natuurlijke logaritme

De natuurlijke logaritme, vaak geschreven als ln, maar in de wiskunde ook gewoon als log, is de logaritme met het grondtal e = 2,718281828...:

$\ln(x) = \log_e(x).\,$

In plaats van $\log_a \left(x \right )$ wordt ook wel ${}^{a}\!\log \left(x \right)$ geschreven. Bij een n-tallig talstelsel wordt in $\log_a \left(x \right)$ de a vaak niet genoteerd wanneer deze gelijk is aan n. Zo wordt in het normale tientallige stelsel $\log \left(x \right)$ genoteerd, waar $\log_{10} \left(x \right)$ bedoeld wordt.

Afbeelding:Grafiek_van_de_10_logaritme_als_functie_van_x.png

Grafiek van de logaritme met grondtal 10 als functie van x.
Let op: aan de linkerzijde van de grafiek heeft de logaritme een asymptoot naar -oneindig als x zeer klein wordt.

[bewerk] Geschiedenis

De Zwitserse klokkenmaker Joost Bürgi, in dienst van de hertog van Hesse-Kassel, was de eerste die het begrip logaritme ontwikkelde. De natuurlijke logaritme werd voor het eerst geïntroduceerd in 1614, in een boek getiteld Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, door John Napier. Het gebruik daarvan droeg bij aan de vooruitgang van de wetenschap, speciaal de sterrenkunde, door de vereenvoudiging van ingewikkelde berekeningen. Voor de komst van rekenmachines en computers, werden logaritmes veel gebruikt voor berekeningen, o.a. in de navigatie. Het verdrong de ingewikkelder prosthaphaeresis, dat gebaseerd is op goniometrische betrekkingen, als snelle methode om producten te berekenen.

Aanvankelijk noemde Napier logaritmen "artificial numbers", kunstmatige getallen. Later bedacht hij de term "logaritme", om aan te geven dat het zowel om een verhouding als om een getal ging (Grieks: λoγoς, logos, in de betekenis van ratio, verhouding en αριθμoς, arithmos, getal). Dit hangt daarmee samen dat het verschil van de logaritmen van twee getallen de verhouding van die twee getallen bepaalt.

[bewerk] Grootte-ordes en logaritmes

De logaritme van een getal x geeft de grootte-orde van x aan. Als we 10 als grondtal nemen is dat goed te zien:

logaritme van 1 is 0, want

100 = 1

logaritme van 10 is 1, want

101 = 10

logaritme van 100 is 2

logaritme van 1000 is 3

Hier laat zich ook de vereenvoudiging van berekeningen zien:

1000 = 10 * 100 of

103 = 10 1 * 10 2

of de logaritme van het product is gelijk aan de som van de logaritmes van de factoren.

We merken op dat de gegeven voorbeelden machten van 10 zijn $1000 = 10 3$ Het werkt ook voor negatieve machten; bijvoorbeeld:

logaritme van 0,1 is -1, want

10 - 1 = 1 / 10

logaritme van 0,01 is -2

logaritme van 0,001 is -3

Ook hier een simpel vorbeeld:

10 = 1000 / 100 of

101 = 10 3 / 10 2

of de logaritme van een quotient is de logaritme van de teller min de logaritme van de noemer. Bij verwisseling van teller en noemer in bovenstaand voorbeeld ontstaat:

10 ^-1 =

102 / 10 3 = 100 / 1000 = 0,1

Voor een logaritme gelden de onderstaande limieten als het grondtal a>1 is:

$\lim_{n \to \infty } \log_a \left(n \right) = \infty$

$\lim_{n \to 0} \log _a \left(n \right) = - \infty$

en indien 0<a<1:

$\lim_{n \to \infty } \log_a \left(n \right) = - \infty$

$\lim_{n \to 0} \log _a \left(n \right) = \infty$

De logaritme van 0 met welk grondtal dan ook is niet gedefinieerd, omdat er geen macht bestaat met welk grondtal dan ook welke resulteert in nul. Daarom heeft de grafiek van de logaritme een asymptoot bij nul.

In een n-tallig talstelsel is het mogelijk om op onderstaande wijze het aantal cijfers van een willekeurig getal x te bepalen.

Aantal cijfers = $\lfloor \log_n \left(x \right)+1 \rfloor$

Het aantal cijfers van een getal in het tientallige stelsel wordt dus bepaald door $\lfloor \log \left(x \right)+1 \rfloor$ .

[bewerk] Andere grondtallen

Logaritmen laten zich gemakkelijk omzetten naar een ander grondtal; zij verschillen slechts een constante factor. Er geldt nl.:

$\frac{\log_a \left(x \right)}{\log_b \left(x \right)}=\frac{\frac{1}{\log_x \left(a \right)}}{\frac{1}{\log_x \left(b \right)}}=\frac{\log_x \left(b \right)}{\log_x \left(a \right)}=\log_a \left(b \right)$ ,

zodat

$\log_a \left(x \right) = \log_a \left(b \right) \log_b \left(x \right)$ .

Overigens ziet deze betrekking er fraaier uit in de andere notatie voor logaritmen:

$\!^a \log x =\!^a \log b \cdot \!^b \log x$ .

[bewerk] Afgeleide

Een bijzondere eigenschap van de natuurlijke logaritme is de eenvoudige vorm van z'n eerste afgeleide, nl.:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln \left(x \right) = \frac{1}{x}$ .

We kunnen dit aantonen m.b.v. de kettingregel.

$\!1 = x'= (e^{\ln(x)})' = e^{\ln(x)} \ln'(x) =x \ln'(x)$ ,

waaruit het gestelde volgt.

Door gebruik te maken van de natuurlijke logaritme en zijn afgeleide, is het mogelijk om de afgeleiden van andere logaritmen te bepalen.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \log_a \left(x \right)= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac { \log_e \left(x \right) }{ \log_e \left(a \right) }= \frac{1}{\ln a} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln \left(x \right) = \frac{1}{x \ln{a}}$

Aangezien de afgeleide altijd positief is, hebben we te maken met een stijgende functie.

[bewerk] Gebruik van logaritmes

Al eeuwen geleden was de logaritme belangrijk voor mensen die veel moesten rekenen. Een eigenschap van logaritmes is namelijk dat een vermenigvuldiging omgezet kan worden naar een optelling:

$\log \left(a \right) + \log \left(b \right) = \log \left(ab \right)$

Om het product van a en b te berekenen, telt men de logaritme van a en van b bij elkaar op bepaalt van het resultaat het getal waarvan dit de logaritme is. De logaritmen worden niet berekend, maar opgezocht en teruggezocht in tabellen. Deze logaritmentafels (tabellen van getallen met hun logaritme) zijn al eeuwen geleden uitgerekend en gepubliceerd. Ze werden gebruikt door zeelieden bij de plaatsbepaling op zee (navigatie), door ingenieurs, etc.

John Napier is degene die wordt beschouwd als de ontdekker/uitvinder van logaritmes, hij publiceerde erover in zijn werk Minifici Logarithmorum Canonis Descriptio uit 1614. Hij gebruikte oorspronkelijk als grondtal 1/e. De natuurlijke logaritme wordt naar hem ook wel de 'Neperse' logaritme genoemd, die met het grondtal 10 de 'Briggse'.

Zie ook logaritmetafel

Ook de rekenliniaal is op het principe van logaritmes gebaseerd: de schalen zijn zo ingedeeld dat de logaritmes van de weergegeven getallen lineair verlopen: het lijnstuk tussen 1 en 2 is even lang als het lijnstuk tussen 2 en 4. Door het optellen van twee lijnstukken ter lengte van de logaritme van de getallen leest men bij de uitkomst het resultaat van de vermenigvuldiging ervan af. Door de opkomst van de zakrekenmachine zijn zowel logaritmentafels als rekenlinialen in onbruik geraakt.

De logaritme komt goed van pas wanneer iets zo'n enorm bereik heeft, dat het verschil tussen de allerlaagste en allerhoogste waarde ons ook niet zo veel meer zegt. Bekende logaritmische schalen zijn de decibel, de cent en pH.

Ook de eenheid van zelfinformatie, het bit, volgt een logaritmische schaal.

[bewerk] Rekenen met logaritmes

Bij het werken met logaritmen kan gebruik worden gemaakt van de onderstaande regels

$b^ \left( \log_b \left(a \right) \right)=a$ (definitie)
$\log_a \left(x^g \right ) =g\log_a \left(x \right)$
$\frac{\log_n{b}}{\log_n{a}}=\log_a{b}$ $\left(n,a,b>0 \wedge n,a \not=1 \right)$
$\log_a{bc} = \log_a \left(b \right) + \log_a \left(c \right)$

Volgt uit

$a^{ \log_a \left(bc \right) } = bc = a^{ \log_a \left(b \right) }a^{ \log_a \left(c \right) } = a^{\log_a \left(b \right) + \log_a \left(c \right) }$

$\log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a \left(b \right) - \log_a \left(c \right)$

Volgt uit

$\log_a \left(bc^{-1} \right) = \log_a \left(b \right) + \log_a \left(c^{-1} \right) = \log_a \left(b \right) - \log_a \left(c \right)$

$\log_a \left(1 \right)=0$
$\log_a \left(a \right)=1$
$\log_a \left( \frac{1}{x} \right) = - \log_a \left(x \right)$
$\log_a \left(b \right)=\frac{1}{ \log_b \left(a \right) }$

[bewerk] Logaritmes van complexe getallen

Hierboven hebben we aangenomen dat het argument x (het getal waarvan we een logaritme nemen) een positief reëel getal is. Het is echter mogelijk de definitie van de logaritme uit te breiden naar negatieve en zelfs complexe argumenten.

Een complex getal w heet een logaritme van z, $\! w = \log z$ , als $e^w=z \!$ .

Men spreekt van een logaritme omdat er bij z oneindig veel getallen w zijn die als logaritme optreden. Zij verschillen onderling een geheel veelvoud van $2\pi i\!$ . Dit komt doordat $e^{2n\pi i}=1\!$ . Schrijven we z als:

$z = r e^{i \phi } \!$ ,

met absolute waarde r en argument φ, dan is elk van de getallen

$w = \log r + i\phi + 2n\pi i \!$

een logaritme van z. De logaritme voor complexe getallen z is een meerwaardige functie:

$\log z = \log r + i\phi + 2n\pi i \!$ .

(NB. het is gebruikelijk het argument φ zo te definiëren dat $-\pi < \phi \leq \pi \!$ .)

De waarde van de logaritme voor $n=0\!$ , heet de hoofdwaarde van de logaritme.

Negatieve argumenten zijn een bijzonder geval van complexe argumenten. Bijvoorbeeld z= -1 is een complex getal op de eenheidscirkel met straal r=1 en een halve cirkel gedraaid θ_p= π. De logaritme van -1 heeft daarom een hoofdwaarde van log(1) + iπ = iπ

[bewerk] Logaritmes van quaternionen

Het is mogelijk de definitie van de logaritme uit te breiden naar quaternionen.

Een quaternion w heet een logaritme van q, $\! w = \log q$ , als $e^w=q \!$ .

Men spreekt van een logaritme omdat er bij q oneindig veel getallen w zijn die als logaritme optreden. Zij verschillen onderling een geheel veelvoud van $2π v!$ , waarbij v de eenheidsvector is die overeenkomt met q, zodanig dat $v 2 = - 1$ en $v=\frac{q - Re(q)}{|q - Re(q)|}$ . Dit komt doordat $e^{2n\pi v}=1\!$ . Schrijven we q als:

$q = r e^{v \phi } \!$ ,

met absolute waarde r, argument φ en eeheidsvector v dan is elk van de getallen

$w = \log r + v\phi + 2n\pi v \!$

een logaritme van q. De logaritme voor quaternionen q is een meerwaardige functie:

$\log q = \log r + v\phi + 2n\pi v \!$ .

(NB. het is gebruikelijk het argument φ zo te definiëren dat $-\pi < \phi \leq \pi \!$ .)

De waarde van de logaritme voor $n=0\!$ , heet de hoofdwaarde van de logaritme.

Heeft men nu twee quaternionen a en b dan geldt:

$\log_b a = \frac{\log a}{\log b}$

Dit is opnieuw een meerwaardige functie die afhangt van twee gehele getallen n1 (behorend bij log a) en n2 (behorend bij log b), stelt men nu n1 = n2 = 0, dan krijgt men de hoofdwaarde van $l o g b a$

Categorie: Wiskundige functie