電子ガス

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電子ガス（でんしがす, Electron gas、電子気体とも言う）：一様な正電荷が分布した状態（→ジェリウムモデル）に電子が存在するとして、これを記述するハミルトニアンは、

$H = {1 \over {2m}} \sum_{i = 1}^N p_i^2 + {1 \over 2} \sum_{i = 1, i \ne j}^N \sum_{j = 1, j \ne i}^N {e^2 \over {|\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j|} } - U_0$

と表される（電子気体のハミルトニアン）。mは電子の質量、Nは電子の数、右辺第１項は運動エネルギー項、右辺第２項は電子同士のクーロン相互作用項、右辺第３項は一様な正電荷のポテンシャルエネルギーである。ここで、第２項は発散項を含むが、第３項も発散項でありこれと打ち消し合う。

以上のようなモデル（模型）を電子ガスモデル（電子気体模型）などと言う。また第２項であるクーロン項を無視したものを特に自由電子ガス（モデル、模型）と言う。この時、第３項は系の全電荷が中性となる必要があり残る。

上記ハミルトニアンを、フーリエ変換により逆空間表示すると、

$H = -{ \hbar \over {2m}} \sum_{i = 1}^N \Delta_i + {1 \over 2} \sum_{\mathbf{k} \ne 0} {4 \pi e^2 \over {\Omega k^2}} \sum_{i = 1, i \ne j}^N \sum_{j = 1, j \ne i}^N e^{i\mathbf{k} \cdot (\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j) }$

となる。Ωは系の体積。上式右辺第２項のkの和で、除外しているk = 0の項が発散項で、U₀と打ち消し合っている。これは、逆空間でゼロ(k = 0)ということは、実空間では無限大のことであり、電子の電荷が空間全体に一様に分布していることに相当する。これが正の電荷の一様分布部分、U₀と相殺する。

電子の電荷密度をρとして、次のパラメータが定義できる。

$r_s = \left( {4 \pi \rho \over 3} \right)^{-{1 \over 3}} {1 \over {a_B}} = \left( {3 \over {4 \pi \rho}} \right)^{{1 \over 3}} {1 \over {a_B}}$

ここで、a_Bはボーア半径である。r_sは電子の密度に関係するパラメータで、値が大きいほど低密度、小さいほど高密度となる。実際の金属では、大体2～5までの値をとる。このr_sをパラメータとして、電子ガスの問題は解かれる。

高密度領域（r_sが1以下）では、乱雑位相近似(RPA) が有効な近似となり、比較的簡単に問題を扱うことができる。r_sが100を越えるような低密度領域では解析の結果、電子はウィグナー結晶となっていることが指摘されている。また低密度領域は電子相関の影響が顕著に現れてくる領域である（→強相関電子系）。金属程度の領域（中密度領域）は、最も解析が難しい領域であり、高密度、低密度で解かれている結果の外挿、内挿などにより近似的に解かれることが多い（→密度汎関数法）。

電子ガスモデルから、プラズマ振動や、電子の遮蔽効果などの議論が出来る。

カテゴリ: 固体物理学 | 電子

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