ハミルトニアン

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ハミルトニアン（Hamiltonian、ハミルトン関数、特性関数）は、物理学におけるエネルギーを表す関数または演算子もしくは行列。

[編集] 解説

量子力学が古典力学の解析力学から発展したのでここでは大きく二つに分けて説明する。

[編集] 解析力学（古典力学）からの解説

解析力学または古典力学においてハミルトニアンとは、T を運動エネルギー、V をポテンシャルエネルギーとして、全エネルギー H を

$H = H(q,p;t) \, = T + V$

のように一般化座標 q、一般化運動量 p によって表した関数のことである。但しt は時間とする。

まずラグランジュ形式の解析力学では、ラグランジュ方程式から、

$p = {\partial L \over {\partial \dot{q} } }, \quad {dp \over {dt}} = \dot{p} = {\partial L \over {\partial q} }, \quad L = L(q,\dot{q};t)$

より（上記、第一式は正準運動量を表す）、dL は、

$dL = pd\dot{q} + \dot{p}dq$

と表現される。ここで、-H を考え、

$-H = L - p\dot{q} \Rightarrow H = p\dot{q} - L$

と変換（ルジャンドル変換：変数(q, dq/dt) → 変数(q, p)及び関数 L → 関数 H へ）することでハミルトニアンが得られる。ここで、

$\begin{matrix} dH = dp \cdot \dot{q} + pd\dot{q} - pd\dot{q} - \dot{p}dq \qquad \\ \quad = \dot{q}dp + pd\dot{q} - pd\dot{q} - \dot{p}dq = \dot{q}dp - \dot{p}dq \end{matrix}$

である。この dH の式からハミルトンの正準方程式が出てくる。

対象とする系に対し、いろいろな座標系の取り方が可能である。例を挙げると、中心力場の問題では、極座標系で記述されることが多い。これはその方が問題を解く上で通常の直交座標系を使うより便利なためである。扱う系により、扱うのに適した座標系はまちまちとなる。

[編集] 量子力学からの解説：詳細はまだ途上

量子力学では、正準量子化に従って位置と運動量を演算子で表す。従って、位置と運動量の関数であるハミルトニアンは演算子としての性質を持つ。また、両側を固有関数で挟むことによって無限次元の行列としても表現される。この表現の異なり方をシュレーディンガーの波動方程式とハイゼンベルクの行列力学が争ったが最終的には等価であることが証明された。すなわち解く状況に応じて都合のいいように取ればよいのである。

具体例として時間に依存しない場合のシュレーディンガー方程式を扱う。詳細はシュレーディンガー方程式参照。

時間に依存しない場合のシュレーディンガー方程式は固有関数または固有状態を Ψ、エネルギー固有値を E とする固有値問題の形をとる。

$H \, \Psi = E \, \Psi$

行列 H に対角化を行うと、上記方程式を解くことができる。現実に解く場合は、無限次元行列を有限な行列に変換して解く。固有値 E が実際に観測される量であるためには、H はエルミート（行列）である必要がある。

[編集] ハミルトニアンの形の代表的なもの

1. 相互作用のない（力を受けない）場合（質点は1個）

$T = {m \over 2} (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2), \quad p_x = { {\partial T} \over {\partial \dot{x} } } = m \dot{x}$

$p_y,\,p_z$ も同様。ポテンシャル V は、この場合ゼロ。よって、

$H = {1 \over {2m}} ( {p_x}^2 + {p_y}^2 + {p_z}^2 )$

となる。H は時間 t に対して一定。

2. 保存力が存在する場合（質点は1個）

この場合、V は保存力の場（U(x,y,z) ← 位置エネルギー）となる。よって、

$H = {1 \over {2m}} ( {p_x}^2 + {p_y}^2 + {p_z}^2 ) + U(x,y,z)$

となる。U(x,y,z)は t に依存しないので、H は時間 t に対して一定。更に正準量子化すると、

$H = - { {{\hbar}^2} \over {2m} }({{\partial}^2 \over {\partial x^2} } + {{\partial}^2 \over {\partial y^2} } + {{\partial}^2 \over {\partial z^2} } ) + U(x,y,z)$

となる。

3. 極座標表示（←2.）

極座標：（r,θ,φ）とする。

$T = {m \over 2} (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2{\theta} \dot{\phi}^2 )$

$p_r = { {\partial T} \over {\partial \dot{r}} } = m \dot{r}, \quad p_{\theta} = { {\partial T} \over {\partial \dot{\theta}} } = mr^2 \dot\theta, \quad p_{\phi} = { {\partial T} \over {\partial \dot{\phi} } } = mr^2 \sin^2{\theta} \dot\phi$