Hamiltonoperator

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten (Unterschied zur vorletzten Version).

Dieser Artikel oder Abschnitt bedarf einer Überarbeitung. Näheres ist auf der Diskussionsseite angegeben. Hilf bitte mit, ihn zu verbessern, und entferne anschließend diese Markierung.

Der Hamiltonoperator $\hat H$ ist ein zentrales mathematisches Objekt der Quantenmechanik. Er beschreibt die dynamischen Eigenschaften eines Systems und erscheint z. B. in der Schrödingergleichung. Man kann den Hamiltonoperator semi-heuristisch aus der Hamiltonfunktion der klassischen Mechanik ableiten, indem man die dynamischen Variablen durch die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren ersetzt. Der Hamiltonoperator ist benannt nach William Rowan Hamilton.

Der Zustand eines quantenmechanischen Systems kann durch einen Vektor $|\psi \rangle$ im abstrakten Hilbertraum charakterisiert werden. Die Zeitentwicklung dieses Zustandsvektors wird durch die Schrödingergleichung beschrieben

$\hat H \left|\psi (t)\right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle$ .

Der Hamiltonoperator ist ein hermitescher Operator, dessen zugeordnete Observable die Gesamtenergie des Systems ist. Er kann in vielen Fällen aus der entsprechenden Hamiltonfunktion der klassischen Physik erhalten werden. Dabei werden die dynamischen Variablen (z. B. Impuls $p$ und Ort $x$ ) durch die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren ersetzt.

Die Ermittlung des Hamiltonoperators aus der Hamiltonfunktion ist allerdings nicht immer so einfach. Komplikationen ergeben sich beispielsweise wenn Produkte von Variablen auftreten, deren zugeordnete Operatoren nicht kommutieren. Die heuristische Regel ist, in solchen Fällen den Mittelwert beider Reihenfolgen zu verwenden, aus dem Produkt $A\cdot B$ wird also der Operator $(\hat A\hat B+\hat B\hat A)/2$ .
Außerdem gibt es in der Quantenmechanik Phänomene, wie den Spin, die kein klassisches Analogon haben.

Die Eigenvektoren $\left|\phi_E\right\rangle$ von $\hat H$ sind die stationären Zustände des Systems, die zugehörigen Eigenwerte $E$ die entsprechenden Energien. Die Eigenwertgleichung lautet

$\hat H \left|\phi_E\right\rangle = E \left|\phi_E\right\rangle$ .

Der Spektralsatz garantiert, dass die Energien reell sind und die linear unabhängigen Eigenvektoren eine Basis des Hilbertraums bilden. Je nach System kann das Energiespektrum diskret oder kontinuierlich sein. In der Tat weisen Systeme häufig neben einem diskreten Energiespektrum auch ein energetisch höherliegendes Kontinuum auf. Ein Beispiel dafür ist ein endlicher Potentialtopf, in dem gebundene Zustände mit diskreten negative Energien und freie Zustände mit kontinuierlich verteilten, positiven Energien auftreten.