Teorema fondamentale del calcolo integrale

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Il Teorema fondamentale del calcolo stabilisce una importante connessione tra i concetti di integrale e derivata per funzioni da $\mathbb R$ in $\mathbb R$ . In generale si usa il termine teorema fondamentale del calcolo per indicare ciò che stabiliscono i seguenti due teoremi:

[modifica] Primo teorema

Se $f:[a,b]\to \mathbb R$ è una funzione continua allora la "funzione integrale" definita come

$F(x):=\int_a^x f(t)dt$

è una funzione derivabile in $[a, b]$ e si ha che $F^\prime(x)=f(x)$ per ogni $x \in[a,b]$ .

Dimostrazione. Si consideri il rapporto incrementale di $\ F$ ; per la proprietà di additività dell'integrale, si può scrivere:

$\ {{F(x+h)-F(x)} \over {h}} = {{1} \over {h}} [ \int_{a}^{x+h} f(t)dt \, - \, \int_{a}^{x} f(t)dt] \, =$

${{1} \over {h}} [ \int_{a}^{x} f(t)dt \, + \, \int_{x}^{x+h} f(t)dt \, - \, \int_{a}^{x} f(t)dt] \, = \, {{1} \over {h}} \int_{x}^{x+h} f(t)dt$

Dal teorema della media integrale risulta che esiste un punto $\ c_h$ interno all'intervallo $\ [x,x+h]$ tale che vale la relazione

$\ {{1} \over {h}} \int_{x}^{x+h} f(t) \, dt=f(c_{h})$

Abbiamo dunque

$\ {{F(x+h)-F(x)} \over {h}}=f(c_{h}).$

Se ora $\ h \to 0$ , $c_{h} \to x$ (poiché $x\leq c_h\leq x+h$ ) e, in forza della continuità di $\ f$ si ha che

$\ \lim_{h \to 0} f(c_{h})= f ( \lim_{h \to 0} c_{h}) = f(x)$ .

Possiamo quindi concludere che

$\ F'(x) = \lim_{h \to 0} {{F(x+h)-F(x)} \over {h}} = f(x)$

ovvero la tesi. $\square$

[modifica] Secondo Teorema

Se $f:[a,b]\to \mathbb R$ è una funzione continua e $G:[a,b]\to \mathbb R$ è una primitiva di $f$ , ovvero $G^\prime(x)=f(x)$ allora
$\int_a^b f(t)dt=G(b)-G(a)$ .

Dimostrazione. Poniamo $F(x):=\int_a^x f(t)dt$ , dal teorema precedente abbiamo che $F^\prime(x)=f(x)$ e d'altra parte sappiamo che $f(x)=G^\prime(x)$ , per la linearità della derivata concludiamo che $\frac d {dx} (F(x)-G(x))=0$ per ogni $x \in [a,b]$ , dalle proprietà della derivata concludiamo che esiste un $c\in \mathbb R$ tale che $F (x) - G (x) = c$ , cioè

$G(b)-G(a)=F(b)-F(a)=\int_a^b f(t)dt-\int_a^a f(t)dt=\int_a^b f(t)dt$ . $\square$

La formula stabilita da questo teorema viene talvolta chiamata formula fondamentale del calcolo integrale.

[modifica] Conseguenze e applicazioni

Il teorema fondamentale del calcolo, oltre al suo valore teorico, ha una importantissima applicazione pratica: consente di ricavare esattamente il valore degli integrali definiti di una consistente quantità di funzioni.
Se vogliamo calcolare l' integrale definito di una funzione $f:[a,b]\to \mathbb R$ possiamo cercare una funzione $F$ che abbia $f$ come derivata (cioè una primitiva di $f$ ) ed avvalerci della formula fondamentale del calcolo per concludere che

$\int_a^b f(t)dt = F(b)-F(a)$

e quindi ridurci a calcolare la funzione $F$ sugli estremi di integrazione. Con questa formula possiamo dire ad esempio che l'area compresa tra l'asse $x$ , la parabola $y = x 2$ e la retta $x = 1$ è esattamente uguale a $1 / 3$ poiché $F(x)=\frac {x^3} 3$ è una primitiva di $x 2$ e $F(1)-F(0)=\frac1 3$ ; se avessimo usato solamente la definizione di integrale di Riemann avremmo dovuto approssimare l'area racchiusa dal grafico della funzione mediante rettangoli "piccoli" e ci saremmo dovuti accontentare di un valore approssimato.

[modifica] Altri modi di vedere le cose

[modifica] Approccio fisico

Supponiamo di avere un punto che si muove lungo una retta la cui posizione al tempo $t$ è individuata dalla funzione $F (t)$ . In tal caso la velocità istantanea $v (t)$ in ogni momento sarà pari alla derivata $F'(t)$ . Lo spazio percorso nell'intervallo di tempo che va da $a$ a $b$ sarà dato dalla differenza tra le posizioni occupate negli istanti $a$ e $b$ cioè $F (b) - F (a)$ . D'altra parte lo spazio percorso sarà anche uguale alla somma degli spazi percorsi in ogni istante. Se dividiamo l'intervallo di tempo in intervallini molto piccoli

$[a,b]=\Delta t_1 \cup ... \cup \Delta t_N$

possiamo trattare il moto in ciascun intervallo di tempo come se la velocità fosse apporssimativamente costante, quindi lo spazio percorso in ogni intervallo sarà uguale a

$\Delta s_i \sim v(t_i)\cdot \Delta t_i=F'(t_i)\cdot \Delta t_i$

lo spazio percorso in tutto l'intervallo di tempo $[a, b]$ sarà uguale alla somma degli spazi percorsi in tutti gli intervalli di tempo $Δ t i$ cioè

$F(b)-F(a) = \Delta s_1+...+\Delta s_N \sim F'(t_1)\cdot \Delta t_1+...+F'(t_N)\cdot \Delta t_N$

e la somma al secondo membro tende a $\int_a^b F'(t) dt$ quando gli intervalli di tempo considerati hanno lunghezze arbitrariamente piccole.

[modifica] Approccio geometrico

Consideriamo preliminarmente una funzione $F$ che abbia derivata sempre positiva.

La derivata più essere vista geometricamente come coefficiente di dilatazione locale, cioè $F'(x)$ è quel fattore di cui vengono espansi (o contratti) dalla funzione $F$ tutti i segmentini che sono vicini al punto $x$ : se chiamiamo $l$ la lunghezza abbiamo che per ogni intervallino $I$ vicino ad $x$ si ha

$l(f(I))\sim F'(x)\cdot l(I)$

Ora l'intervallo $[a, b]$ verrà mandato dalla funzione $F$ (che in questo caso è monotona crescente) nell'intervallo $[F (a), F (b)]$ , la lunghezza dell'intervallo immagine è quindi $F (b) - F (a)$ . D'altra parte possiamo calcolare questa lunghezza in quest'altro modo: dividiamo $[a, b]$ in tanti piccoli intervalli disgiunti $I 1,..., I N$ cosicché la lunghezza complessiva dell'intervallo immagine sarà data dalla somma delle lunghezze delle immagine degli intervallini in cui lo abbiamo suddiviso (sempre perché $F$ è monotona):

$l([F(a),F(b)])=l(F(I_1))+l(F(I_2))+...+l(F(I_N))\,$

consideriamo che la funzione $F$ deforma ciascuno di questi intervallini di un fattore approssimativamente uguale alla derivata di $F$ calcolata in un punto interno all'intervallo:

$l(F(I_k))\sim F'(x_k)\cdot l(I_k)$

quindi nel complesso abbiamo che

$F(b)-F(a) \sim F'(x_1)\cdot l(I_1)+F'(x_2)\cdot l(I_2)+...+F'(x_N)\cdot l(I_N)$

se prendiamo intervalli di lunghezza $h$ arbitrariamente piccola l'espressione sulla destra converge all'integrale

$\int_a^b F'(x) dx$ .

L'idea quindi è che il calcolo dell'integrale di $F'(x)$ ci dice quanto spazio percorriamo andando a sommare tutti i segmenti trasformati dalla funzione $F$ , cioè la lunghezza complessiva dell'intervallo trasformato da $F$ .

Il discorso appena fatto vale per il caso in cui si ha $F'(x) > 0$ ovunque. Nel caso in cui abbiamo ovunque $F'(x) < 0$ il discorso è simile con la differenza che l'orientamento degli intervalli viene invertito.

Nel caso generale in cui $F'(x)$ può cambiare di segno si riconduce ai precedenti considerando separatamente gli intervalli in cui il segno della derivata rimane costante.

[modifica] Approccio algebrico

Se abbiamo una somma $\sum_{k=1}^N a_k$ e riusciamo a trovare una sequenza $A 0, A 1,..., A N$ tale che $a k = A k - A k - 1$ allora grazie alla proprietà associativa dell' addizione la nostra somma si semplifica drasticamente:

$\sum_{k=1}^N a_k=a_N+a_{N-1}+ ... +a_1 = (A_N-A_{N-1})+(A_{N-1}-A_{N-2})+...+(A_1-A_0)=A_N-A_0$

cioè la somma si risuce alla differenza di $A k$ sugli "estremi" dell'insieme su cui varia k. Questo tipo di somme che si possono "accorciare" vengono chiamate somme telescopiche.
L'analogia con la formula fondamentale del calcolo

$\int_a^b F^\prime(t)dt = F(b)-F(a)$

non è casuale.
Supponiamo di approssimare l'integrale della derivata $F^\prime$ mediante una somma finita di aree di rettangolini di base lunga $h={1 \over n}$ e altezza $F ^\prime (x_k)$ immaginando di aver diviso l'intervallo $[a, b]$ in $n$ sottointervalli $[x k, x k + 1]$ lunghi $\frac 1 n$ con $x 0 = a$ e $x n = b$ . L'integrale approssimato sarà dato dalla sommatoria

$\sum_{k=0}^{n-1} h F'(x_k)=h (F'(x_{n-1})+ \cdots +F'(x_0))$

ora approssimiamo le derivate che compaiono nella sommatoria con i rapporti incrementali, dal momento che

$F'(x_k)\sim\frac{F(x_{k+1})-F(x_k)}{h}$

rimpiazziamo queste quantità approssimate nella sommatoria:

$\sum_{k=0}^{n-1} h F'(x_k)\sim h \left(\frac{F(x_n)-F(x_{n-1})}{h}+\frac{F(x_{n-1})-F(x_{n-2})}{h}+ \cdots +\frac{F(x_1)-F(x_0)}{h}\right)$

semplificando si ottiene

$\sum_{k=0}^{n-1} h F'(x_k)\sim F(x_n)-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})-F(x_{n-2})+ \cdots +F(x_1)-F(x_0)$

ed in conclusione, semplificando tutti gli addendi di segno opposto si ha

$\sum_{k=0}^{n-1} h F'(x_k)\sim F(x_n)-F(x_0)=F(b)-F(a)$ .

[modifica] Dimostrazione alternativa

L'argomento appena presentato può essere usato (con piccoli ritocchi) per dimostrare la formula fondamentale del calcolo nel seguente modo:

consideriamo per ogni $n$ un'approssimazione dell'integrale di Riemann di $F^\prime(x)$ simile alla precedente ma in cui calcoliamo $F^\prime$ su valori $\bar{x}_k$ interni a ciascun intervallino $[x k, x k + 1]$ :

$\sum_{k=0}^{n-1} h F'(\bar{x}_k)=h (F'(\bar{x}_{n-1})+ ... +F'(\bar{x}_0))$

in cui $\bar{x}_k$ è dato dal teorema di Lagrange applicato a $F$ nell'intervallo $[x k, x k + 1]$ , cioè $h F^\prime(\bar{x}_k)=F(x_k)-F(x_{k+1})$ , allora - fatte le dovute semplificazioni - abbiamo

$\sum_{k=0}^{n-1} h F'(\bar{x}_k)=F(x_n)-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})-F(x_{n-2})+...+F(x_1)-F(x_0)$

$\;=F(x_n)-F(x_0)=F(b)-F(a)$

D'altra parte dalla definizione di integrale di Riemann l'intergale approssimato che abbiamo considerato deve convergere (se $F^\prime$ è integrabile secondo Riemann) per $n \to \infty$ all'integrale $\int_a^b F^\prime(x) dx$ e dunque è dimostrata la formula fondamentale del calcolo.

[modifica] Generalizzazioni

Il teorema si può generalizzare in diverse direzioni.

Si possono considerare le estensioni della nozione di derivata in spazi euclidei a più dimensioni (il concetto di funzione differenziabile e di derivata parziale) e l'integrazione su varietà di forme differenziali. Gli analoghi del teorema fondamentale del calcolo in questo contesto sono il teorema di Green, teorema della divergenza, e la loro generalizzazione: il teorema di Stokes.

In matematica, normalmente si considera la nozione di integrazione secondo Lebesgue. In questo contesto, il teorema fondamentale del calcolo diviene più generale e potente, ed asserisce che l'integrale di una funzione sommabile è una funzione assolutamente continua (e pertanto differenziabile quasi ovunque), la cui derivata debole, è l'integranda stessa. Naturalmente, nel caso in cui si assumano maggiori ipotesi di regolarità (per esempio, la continuità dell'integranda), si ottiene immediatamente il teorema fondamentale del calcolo di cui sopra.

Si può considerare anche la nozione di derivabilità e integrabilità sul piano complesso (vedi le funzioni olomorfe e meromorfe), in questo caso gli analoghi del teorema fondamentale del calcolo sono il teorema integrale di Cauchy e il teorema dei residui).

Analisi matematica