Solidi platonici

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Solido platonico è sinonimo di solido regolare e di poliedro convesso regolare e si definisce come poliedro convesso che ha per facce poligoni regolari congruenti (cioè sovrapponibili esattamente). Ne consegue che anche i suoi angoloidi hanno la stessa ampiezza.
Esistono soltanto 5 solidi regolari: il tetraedro regolare, l'esaedro regolare o cubo, l'ottaedro regolare, il dodecaedro regolare e l'icosaedro regolare

Indice

1 Perché sono solo cinque?
2 Proprietà metriche dei solidi platonici
3 Dualità e simmetrie dei solidi platonici
4 Solidi platonici e cristalli
5 In altre dimensioni
6 Cenni storici
7 I poliedri platonici nella storia dell'arte
8 Voci correlate
9 Collegamenti esterni

[modifica] Perché sono solo cinque?

Soltanto il triangolo equilatero, il quadrato e il pentagono regolare possono essere facce di poliedri regolari; infatti in un vertice di un poliedro devono convergere almeno 3 facce che non stanno sullo stesso piano; quindi la somma dei loro angoli deve essere inferiore a 360°.
Ogni angolo di un triangolo equilatero misura 60°:
è quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 60 = 180) ottenendo un tetraedro regolare,

4 facce (4 x 60 = 240) ottenendo un ottaedro regolare

e 5 facce (5 x 60 = 300) ottenendo un icosaedro regolare.

Ogni angolo di un quadrato misura 90°: è quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 90 = 270) ottenendo un cubo.

Ogni angolo di un pentagono regolare misura 108°. è quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 108 = 324) ottenendo un dodecaedro regolare.

Ogni angolo di un esagono regolare misura 120° e quindi 3 facce che si incontrassero in un vertice risulterebbero sullo stesso piano (3 x 120 = 360).

[modifica] Proprietà metriche dei solidi platonici

La tabella seguente raggruppa alcune delle principali proprietà metriche dei solidi platonici.
Sia d la misura dello spigolo di un poliedro; di possono calcolare in funzione di d i raggi r, R, ρ, rispettivamente della sfera inscritta, circoscritta, di quella tangente agli spigoli, nonché l'area S della superficie ed il volume V. Dalle formule della tabella possono dedursi quelle inverse.

Nome	r	R	ρ	S	V
Tetraedro	$\frac{\sqrt{6}}{12}d$	$\frac{\sqrt{6}}{4}d$	$\frac{\sqrt{2}}{4}d$	$\sqrt{3}d^2$	$\frac{\sqrt{2}}{12}d^3$
Cubo o Esaedro	$\frac{1}{2}d$	$\frac{\sqrt{3}}{2}d$	$\frac{\sqrt{2}}{2}d$	$6 d 2$	$d 3$
Ottaedro	$\frac{\sqrt{6}}{6}d$	$\frac{\sqrt{2}}{2}d$	$\frac{1}{2}d$	$2\sqrt{3}d^2$	$\frac{\sqrt{2}}{3}d^3$
Dodecaedro	$\frac{1}{20}\sqrt{(10(25+11\sqrt{5})}d$	$\frac{\sqrt{3}}{4}(1+\sqrt{5}) d$	$\frac{1}{4}(3+\sqrt{5})d$	$3\sqrt{25+10\sqrt{5}}d^2$	$\frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})d^3$
Icosaedro	$\frac{\sqrt{3}}{12}(3+\sqrt{5})d$	$\frac{1}{4}\sqrt{(10+2\sqrt{5})}d$	$\frac{1}{4}(1+\sqrt{5})d$	$5\sqrt{3}d^2$	$\frac{5}{12}(3+\sqrt{5})d^3$

[modifica] Dualità e simmetrie dei solidi platonici

La dualità poliedrale, cioè la trasfigurazione di un poliedro in un secondo poliedro che presenta rispettivamente i vertici, gli spigoli e le facce corrispondenti alle facce, agli spigoli e al vertici del primo e che presenta le conseguenti relazioni di incidenza fra questi tre tipi di oggetti, è una involuzione che trasforma tetraedri in tetraedri e scambia cubi con ottaedri e dodecaedri con icosaedri.

La elevata regolarità di solidi platonici si rispecchia nel fatto che ciascuno di essi ha associato un esteso gruppo di simmetria. Questi gruppi si possono considerare sottogruppi dei gruppi di simmetria dei vertici o dei gruppi di simmetria degli spigoli o dei gruppi di simmetria delle facce. I gruppi di simmetria di due solidi platonici duali sono isomorfi: infatti per dualità le permutazioni dei vertici di un poliedro diventano permutazioni delle facce del poliedro duale (mentre le permutazioni degli spigoli di un poliedro diventano permutazioni degli spigoli del duale).

Il gruppo di simmetria del tetraedro viene indicato con T_d, il gruppo di simmetria del cubo e dell'ottaedro con O_h, il gruppo di simmetria dell'icosaedro e del dodecaedro con I_h.

[modifica] Solidi platonici e cristalli

Alcuni cristalli assumono la forma di solidi regolari: il cloruro di sodio, il comune sale da cucina, si dispone in cristalli cubici, il fluoruro di calcio, cioè la fluorite, si presenta in forma di ottaedri regolari e la pirite in forma di dodecaedri regolari. Sono poi molti i cristalli che si dispongono seguendo composizioni e varianti dei solidi platonici; questo equivale a dire che i rispettivi reticoli cristallini presentano spiccate proprietà di simmetria; tali proprietà hanno un ruolo fondamentale per la loro classificazione.

[modifica] In altre dimensioni

Può essere interessante notare che in uno spazio a quattro dimensioni esistono sei politopi regolari, mentre da cinque dimensioni in su ne esistono solamente tre (gli analoghi del cubo, del tetraedro regolare e dell'ottaedro regolare). Naturalmente nello spazio bidimensionale i poligoni regolari sono invece infiniti.

[modifica] Cenni storici

Le regolarità dei solidi platonici sono straordinariamente suggestive: questo ha fatto sì che venissero ampiamente studiati fin dall'antichità, spesso cercando in essi significati nascosti e attribuendo a loro valori esoterici.

Essi furono oggetto di studio di Pitagora e Platone.
Quest'ultimo, nel Timeo, associò ad ognuno di essi un elemento: al tetraedro il fuoco, al cubo la terra, all'ottaedro l'aria, all'icosaedro l'acqua, mentre ritenne che il dodecaedro fosse la forma dell'universo.

Essi furono poi studiati con ben maggiore razionalità dai geometri greco-alessandrini. Le costruzioni di questi solidi sono contenute nel Libro XIII degli Elementi di Euclide. La proposizione 13 descrive la costruzione del tetraedro regolare, la proposizion 14 è dedicata all'ottaedro regolare, la proposizione 15 al cubo, la proposizione 16 all'icosaedro regolare e la proposizione 17 al dodecaedro regolare.

[modifica] I poliedri platonici nella storia dell'arte

Come si è accennato, l'idea di Platone che i solidi regolari facciano, per così dire, da tramite sul piano gnoseologico tra i disordinati fenomeni naturali e la perfezione del mondo iperuranio, non poteva non influenzare il pensiero degli uomini del Rinascimento intriso com’era di teorie neo-platoniche.
L'interesse per i solidi platonici è vivo tra matematici ed artisti rinascimentali: ne studiano le proprietà metriche Piero della Francesca (nel trattato De corporibus regularibus), Luca Pacioli e successivamente Niccolò Tartaglia e Rafael Bombelli.

Si deve ricordare come Luca Pacioli pubblichi nel 1509 il De Divina Proportione, con le celebri illustrazioni di poliedri eseguite da Leonardo. Le stesse illustrazioni vengono riprese con sorprendente maestria da fra' Giovanni da Verona (c.1457-1525) nella realizzazione delle tarsie della chiesa di Santa Maria in Organo a Verona.
Tra i poliedri studiati da Luca Pacioli, troviamo anche alcuni poliedri archimedei ed un poliedro "stellato" ("stella octangula"), ottenuto componendo tra loro un tetraedro con un secondo tetraedro ruotato di 180 gradi.

Keplero nel sua opera Mysterium cosmografaphicum, riprende, in termini diversi, l'indagine di Platone attorno al senso dei poliedri regolari nella struttura del mondo: sostiene che i poliedri platonici sono strettamente connessi alle armoniose proporzioni che lo caratterizzano: « La Terra è la sfera che misura tutte le altre. Circoscrivi ad essa un dodecaedro: la sfera che lo comprende sarà Marte[nel senso che contiene l'orbita, che allora ancora riteneva circolare, del suo moto attorno al sole]. Circoscrivi a Marte un tetraedro: la sfera che lo comprende sarà Giove. Circoscrivi a Giove un cubo: la sfera che lo comprende sarà Saturno. Ora iscrivi alla Terra un icosaedro: la sfera iscritta ad essa sarà Venere. Iscrivi a Venere un ottaedro: la sfera iscritta ad essa sarà Mercurio. Hai la ragione del numero dei pianeti.»

La stessa fantasiosa idea di un rapporto stretto tra armonia dell'universo e solidi platonici è ripresa, sia pure in termini diversi, nella successiva opera Harmonices Mundi.
Il fascino dei poliedri, e l'idea platonica che riserva ad essi, in considerazione della loro bellezza, un ruolo rilevante nel coniugare il mondo umano con il mistero della trascendenza, viene ripresa più volte nella storia dell'arte.

Si pensi, in ambito surrealista, a Salvador Dalì ed a sue opere come Corpus Ipercubus (in cui la croce è sostituita dallo sviluppo nello spazio tridimensionale di un "ipercubo), e Ultima Cena (in cui la scena è ambientata all'interno di un dodecaedro).

Va citato ovviamente anche Maurits Cornelis Escher di cui è noto il grande interesse per le strutture matematiche. Nell'opera Cascata, ad esempio, troviamo raffigurati due poliedri che si ottengono intrecciando poliedri platonici ruotati attorno al centro.

Oltre al surrealismo, anche l'arte cinetica e programmata, verso la metà del XX secolo, ha fatto ricorso alla razionalistica suggestione di strutture geometriche. La computer art ha dato nuovo impulso alla esplorazione di complicate strutture che derivano dall'intreccio di poliedri ruotati tra loro. Mostra interesse per gli approdi della computer art anche l'artista italiano Lucio Saffaro, che, anche tramite originali ricerche matematiche, pone quasi ossessivamente i poliedri al centro delle sue opere.