Poliedri di Keplero-Poinsot
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Un poliedro (o solido) di Keplero-Poinsot è un poliedro regolare non convesso, in cui tutte le facce sono formate da identici poligoni regolari (includendo tra essi anche i poligoni stellati) e che ha lo stesso numero di facce che si incontrano in uno stesso vertice.
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[modifica] I poliedri di Keplero-Poinsot
Abbandonando il criterio della convessità, oltre ai cinque solidi platonici, si possono costruire altri quattro solidi due (i così detti poliedri di Keplero (1571 - 1630) hanno come facce poligoni regolari stellati, altri due (i così detti poliedri di Poinsot, dal nome del matematico francese Louis Poinsot), (1777 - 1859): sono costruiti in modo che le facce possano interpenetrarsi.
Sono poliedri di Keplero:
- Il piccolo dodecaedro stellato che ha come facce 12 pentagoni stellati, ha 12 vertici e 30 spigoli;
- Il grande dodecaedro stellato che ha ancora come facce 12 pentagoni stellati, ha 20 vertici e 30 spigoli.
Sono poliedri di Poinsot:
- il grande dodecaedro che ha 12 facce a forma di pentagoni regolari, ha 12 vertici e 30 spigoli;
- il grande icosaedro ha che ha 20 facce a forma di triangoli equilateri, ha 12 vertici e 30 spigoli.
Sia F in numero delle facce; S degli spigoli, V dei vertici, N dei lati di una faccia, M degli spigoli si congiungono in un vertice:la seguente tabella, con le stesse annotazioni precedenti, sintetizza le caratteristiche dei poliedri di Keplero-Poinsot
| Nome | F | S | V | N | M |
|---|---|---|---|---|---|
| Grande dodecaedro | 12 | 30 | 12 | 5 | 5 |
| Piccolo dodecaedro stellato | 12 | 30 | 12 | 5 | 5 |
| Grande dodecaedro stellato | 12 | 30 | 20 | 5 | 3 |
| Grande icosaedro | 20 | 30 | 12 | 3 | 5 |
Ciascun poliedro di Keplero-Poinsot è trasformato in sé stesso dal gruppo di rotazioni Ih dell’icosaedro.
Il grande dodecaedro ed il piccolo dodecaedro stellato sono duali tra loro; lo stesso per il grande dodecaedro stellato ed il grande icosaedro.
[modifica] Altri poliedri stellati
Se si estende la nozione di poliedro regolare anche a poliedri intrecciati (lasciando cadere il requisito che due vertici possano sempre collegarsi da un cammino fatta da spigoli) e si estendono le definizioni di poliedro regolare mediante condizioni gruppali, si possono aggiungere ai poliedri di Keplero-Poinsot i seguenti “poliedri stellati”.
- il sistema di due tetraedri platonici mutuamente simmetrici rispetto al centro comune (la così detta “stella octangula”)
- il sistema di cinque tetraedri platonici concentrici i cui vetrici si dispongono come i vertici del decaedro platonico (vedasi figura)
- il sistema di dieci teraedri platonici che si ottiene considerando due sistemi come quello del punto precedete mutuamente simmetrici rispetto al centro comune.
[modifica] I poliedri di Keplero-Poinsot nella storia e nell’arte
I poliedri stellati di Keplero sono studiati e raffigurati nel testo Harmonices mundi (1619) .
Tuttavia non si può dire che egli ne sia stato lo scopritore. Il piccolo dodecaedro stellato era già noto ad artisti che, nel XV secolo, si occupavano di arte decorativa: ne troviamo una perfetta raffigurazione a mosaico sul pavimento della Basilica di San Marco a Venezia, attribuita dubitativamente a Paolo Uccello.
Una incisione che riproduce quasi esattamente il grande dodecaedro stellato compare nell’opera Perspectiva Corporum Regularium dell’ orafo di Norimberga Wentzel Jamnitzer.
Una trattazione completa dell’insieme dei quattro poliedri e delle loro proprietà duali è data per la prima volta da Pionsot (1809)
La perfezione estetica dei poliedri di di Keplero-Poinsot non può lasciare indifferenti. Scriveva Keplero: «Addi possunt congruentiis perfectissimis regularibus duae etiam aliae congruentiae stellarum duodecim pentagonicarum ...».
Sono numerose le opere grafiche di Maurits Cornelis Escher che utilizzano solidi platonici, poliedri di Keplero-Poinsot, e poliedri derivanti dalla intersezione di poliedri regolari concentrici. Nell’opera Ordine e Caos (1950) un “piccolo dodecaedro stellato” inserito in una sfera di vetro fa da contrasto alla spazzatura che lo circonda.
Escher, in perfetta sintonia con le suggestioni del platonismo che hanno attraversato i secoli scriveva, al riguardo dei poliedri regolari: «Essi simbolizzano il desiderio di armonia e di ordine dell’uomo, ma nello stesso tempo la loro perfezione desta in noi il senso della nostra impotenza. I poliedri regolari non sono invenzioni della mente umana, perché esistevano molto prima che l’uomo comparisse sulla scena...».
