Progressione geometrica

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In matematica, una progressione geometrica (chiamata anche impropriamente serie geometrica, vedi sotto) è una successione di numeri tali che il quoziente di due elementi successivi della successione è una costante detta ragione della successione.

Quindi, senza perdita di generalità, una successione geometrica può essere scritta come

$ar^0=a,ar^1=ar,ar^2,ar^3,...\,$

Dove r ≠ 0 è la ragione e a è un fattore di scala. Quindi la ragione fornisce una famiglia di successioni geometriche con valore iniziale determinato dal fattore di scala. Ad essere precisi il caso r = 0 dovrebbe essere escluso, poiché la ragione non è neppure definita; ma la successione identicamente uguale a zero è inclusa per convenzione.

[modifica] Formule

Le progressioni permettono l'uso di alcune semplici formule per trovare ogni termine. Il termine n-esimo può essere definito come

$a_n = a\,r^n.$

La ragione è allora

$r=\left(\frac{a_n}{a}\right)^{1/n} \quad \mbox{per } n>0$

e il fattore di scala è

$a=\frac{a_n}{r^n}.$

[modifica] Esempi

Una successione di ragione 2 e fattore di scala 1 è

1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

Una successione di ragione 2/3 e fattore di scala 729 è

729 (1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, 32/243, 64/729, ....) = 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, ....

Una successione di ragione −1 e fattore di scala 3 è

3 (1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, ....) = 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, ....

Una progressione geometrica non nulla mostra una crescita esponenziale o un decadimento esponenziale.

Se la ragione è:

Negativa, il risultato oscillerà fra valori positivi e valori negativi.
Maggiore di 1, ci sarà una crescita esponenziale verso l'infinito (positivo).
Minore di -1, ci sarà una crescita esponenziale verso l'infinito (positivo e negativo).
Fra 1 e -1, ci sarà un decadimento esponenziale verso zero.
Zero, il risultato rimarrà zero.

Confronta questo con una progressione aritmetica che mostra una crescita lineare (o una diminuzione) come 4, 15, 26, 37, 48, .... Nota che i due tipi di progressione sono imparentati: prendendo il logaritmo di ogni termine di una progressione geometrica si ottiene una progressione aritmetica.

[modifica] Applicazioni

Si osserva facilmente che una progressione geometrica soddisfa la seguente condizione

$a_n = r\,a_{n-1}.$

interpretabile come una equazione alle differenze finite, di cui una progressione di rapporto comune r è soluzione.

L'equazione precedente si ritrova in molti modelli di crescita esponenziale. Ad esempio, il numero di individui in una colonia di batteri che si duplicano a un intervallo fissato segue una progressione geometrica di ragione 2.