Série géométrique

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La série géométrique est l'un des exemples de série numérique les plus simples qu'on puisse donner. C'est la série de terme général $λ n$ où $λ$ est un nombre réel (niveau terminale) ou complexe (niveau première année universitaire).

Bien qu'en apparence simple, elle mérite attention car elle admet une généralisation dans les algèbres de Banach qui permet d'étudier les variations de l'inverse d'un élément.

Sommaire

1 Qu'est-ce qu'une série géométrique ?
- 1.1 Exemple numérique
- 1.2 Généralisation au corps des complexes
2 Séries géométriques dans les algèbres de Banach
3 Références

[modifier] Qu'est-ce qu'une série géométrique ?

La série géométrique de terme initial a et de raison géométrique q (réel différent de 1) est la série de terme général $a . q n$ . Ses sommes partielles se calculent explicitement :

$S_n=a \sum_{i=1}^{n} q^{i-1} =a.\frac{1-q^{n}}{1-q}$

Il existe plusieurs démonstrations de cette formule :

Preuve par récurrence : L'identité est vraie pour $n = 1$ . Supposons-là vérifiée au rang n. Alors, il suffit d'écrire :

$S_{n+1}=S_n+a.q^n=a.\frac{1-q^{n}}{1-q}+a.q^n=a.\frac{1-q^{n}+q^n-q^{n+1}}{1-q}=a.\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Preuve plus astucieuse : On multiplie $S n = a + a . q + a q 2 + ... + a q n - 2 + a q n - 1$ par q pour obtenir :

$q \times S_n=aq+aq^2+...+aq^{n-1}+aq^{n}=S_n-a+aq^n$

En soustrayant cette dernière identité par $S n$ et en la divisant ensuite par $(1 - q)$ , on obtient le résultat annoncé.

Cette série géométrique est convergente si et seulement si la suite $(S n)$ converge. Dans cette étude, on distingue trois cas (en éliminant le cas a=0 qui est sans intérêt) :

Lorsque $| q | < 1$ , dans ce cas, $q n$ tend vers 0, et donc la suite $(S n)$ est convergente, de limite $a / (1 - q)$ .
Lorsque $| q | = 1$ , alors en fait $q = - 1$ et donc, $S n$ vaut périodiquement 1 et 0.
Lorsque $| q | > 1$ , la suite $(q n)$ et a fortiori $(S n)$ diverge grossièrement.

Ces sommes sont dites géométriques, parce qu'elles apparaissent en comparant des longueurs, des aires, des volumes, etc. de formes géométriques dans différentes dimensions. Le résultat pas bien difficile mais en tout cas remarquable est le suivant :

La série géométrique de terme initial a non nul et de raison q est convergente si et seulement si la valeur absolue de la raison est strictement inférieure à 1 ; id est : $| q | < 1$ . Dans ce cas, sa somme vaut :

$\sum_{n=0}^{\infty} a.q^n=\frac{a}{1-q}$

[modifier] Exemple numérique

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256

C'est la somme partielle d'une série géométrique de rapport 2 et de premier terme 2. La formule ci-dessus s'écrit :

$2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256=2\times \frac{1-256}{1-2}=510$

[modifier] Généralisation au corps des complexes

Les résultats s'étendent très naturellement au corps des nombres complexes.

Une série géométrique de premier terme a et de raison q, nombres complexe, est la série de terme général $a . q n$ . La condition nécessaire et suffisante de convergence est que la raison q soit un complexe de module strictement inférieur à 1.

A noter que les séries géométriques sont les exemples les plus simples de séries entières qu'on dispose. Son rayon de convergence est 1.

Le point 1 est un point de césure.

[modifier] Séries géométriques dans les algèbres de Banach

Si $(A,\|.\|)$ désigne une algèbre de Banach, la série géométrie de raison $u\in A$ est la série de terme général u. Lorsque $\|u\|<1$ , la sous-multiplicativité donne :

$\|u^n\|\leq \|u\|^n$

Comme la série géométrique réelle de raison $\|u\|$ est convergente, la série géométrique de raison u est absolument convergente. Notons S sa somme. Alors on a :

$(1-u).S=\sum_{n=0}^{\infty} u^n-\sum_{n=1}^{\infty} u^n=1$

Donc S est l'inverse de $(1 - u)$ . Ce qui peut sembler être un exercice scolaire du premier cycle s'avère fondamental. Voici quelques applications énoncées sans démonstration :

L'ensemble des éléments inversibles de A est un ouvert.
Pour un élément x de A, son spectre - l'ensemble des complexes $λ$ tels que $(λ - x)$ ne soit pas inversible - est une partie fermée non vide et bornée de C.
Sur son domaine de définition, l'application $\lambda\mapsto (\lambda-x)^{-1}$ est développable en séries entières.

[modifier] Références

DELHEZ, Eric J.-M., Analyse Mathématique, Tome II, Université de Liège, Belgique, juillet 2005, p. 344.
Jean Dieudonné, Eléments d'analyse, t. I : Fondements de l'analyse moderne [détail des éditions]

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