Congettura di Erdős-Straus

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La congettura di Erdős-Straus afferma che per ogni intero $n \geq 2$ , il numero razionale 4/n si può scrivere come somma di tre frazioni unitarie, ossia esistono tre interi positivi $a$ , $b$ e $c$ tali che

$\frac{4}{n} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

La somma di queste frazioni unitarie è una rappresentazione come frazione egiziana del numero 4/n. Ad esempio, per n = 1801, esiste una soluzione con x = 451, y = 295364, and z = 3249004:

$\frac{4}{1801} = \frac1{451} + \frac1{295364} + \frac1{3249004}.$

Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per nxyz si trova la l'equazione diofantea equivalente 4xyz=n(xy+xz+yz). La restrizione di x, y, e z ai numeri positivi è cruciale per la difficoltà del problema, dal momento che, se i valori negativi fossero ammessi, il problema potrebbe essere risolto banalmente da una delle due identità 4/(4k+1) = 1/k - 1/k(4k+1) e 4/(4k-1) = 1/k + 1/k(4k-1).

Se n è un numero composto, n = pq, allora una si potrebbe trovare immediatamente una soluzione come somma di frazioni egiziane per 4/n dalla soluzione per 4/p o per 4/q. Pertanto, se esistono controesempi alla congettura di Erdős–Straus, il più piccolo deve necessariamente essere un numero primo.

Paul Erdős e Ernst G. Straus formularono la congettura nel 1948 (vedi, ad esempio, Elsholtz) ma il primo riferimento divulgato sembra essere una pubblicazione di Erdős del 1950.

[modifica] Verifica

La congettura di Erdős-Straus è stata verificata da Swett (attraverso tecniche di forza bruta e sfruttando identità simili a quella indicata sotto) per ogni $n$ fino a $1014$ .

Alcune classi di numeri possono essere verificate immediatamente attraverso delle identità algebriche. Ad esempio:

$\frac{4}{(2 + 3x)} = \frac{1}{2 + 3x} + \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{(1 +x )(2 + 3x)}$

che implica che, per ogni $n \equiv 2 \pmod{3}$ , il primo membro si può rappresentare come somma di tre frazioni unitarie.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed, Springer-Verlag, New York, 1994, ISBN 0387208607, §D11
L. J. Mordell, Diophantine Equations (1969)
L. A. Rosati, Sull'equazione diofantea 4/n = 1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃, Boll. Un. Mat. Ital. (3) 9(1954) 59-63; MR 15, 684

[modifica] Collegamenti esterni

Il sito web di Swett con informazioni sulla verifica della congettura
Erdos-Straus Conjecture - La pagina di MathWorld sulla congettura.

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../c/o/n/Congettura_di_Erd%C5%91s-Straus_db12.html"

Categorie: Congetture matematiche | Teoria dei numeri | Equazioni diofantee

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