פונקציות היפרבוליות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

יש לפשט ערך זה
זהו ערך טוב, אך הוא מנוסח באופן טכני מידי, וקשה להבנה לקהל הרחב. יש להוסיף לערך זה מבוא אינטואיטיבי שיסביר את הרעיונות והמושגים בערך בצורה פשוטה יותר, רצוי בליווי דוגמאות. אם אתם סבורים כי הערך אינו ברור דיו או שיש נקודה שאינכם מבינים בו, ציינו זאת בדף השיחה שלו. יש לציין כי ערכים מדעיים רבים מצריכים רקע מוקדם.

במתמטיקה, הפונקציות ההיפרבוליות אנלוגיות לפונקציות הטריגונומטריות הרגילות.

תוכן עניינים

1 הגדרת הפונקציות ההיפרבוליות
2 הגדרה לפי טורים
3 קשרים לפונקציות טריגונומטריות
4 זהויות נוספות
5 הנגזרות של הפונקציות ההיפרבוליות
6 הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות
7 הגדרת הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות כטורים
8 הנגזרות של הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות
9 פונקציות היפרבוליות עבור מספרים מרוכבים
10 שימושים בפונקציות היפרבוליות

[עריכה] הגדרת הפונקציות ההיפרבוליות

בהינתן $\ i^2 = -1$ (ראה מספרים מרוכבים) הפונקציות ההיפרבוליות הן:

סינוס היפרבולי: $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = -\imath \sin(\imath x)$

קוסינוס היפרבולי: $\cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cos(\imath x)$

טנגנס היפרבולי: $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = -\imath \tan(\imath x)$

קוטנגנס היפרבולי: $\coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \imath \cot(\imath x)$

סקאנט היפרבולי: $\operatorname{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \sec(\imath x)$

קוסקאנט היפרבולי: $\operatorname{csch}(x) = \frac{1}{\sinh(x)} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \imath \csc(\imath x)$

sinh, cosh and tanh

csch, sech and coth

[עריכה] הגדרה לפי טורים

ניתן להביע את הפונקציות ההיפרבוליות כטורים:

$\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_nx^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}2^{2n} B_n x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi$

$\operatorname {sech} x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n E_n x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\operatorname {csch} x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n 2 (2^{2n}-1) B_n x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi$

כאשר:

$\ B_n$ , הוא מספר ברנולי ה-n־י

$\ E_n$ , הוא מספר אויילר ה-n־י

[עריכה] קשרים לפונקציות טריגונומטריות

כשם שהנקודות (cos t, sin t) מגדירות מעגל, הנקודות (cosh t, sinh t) מגדירות החלק הימני של ההיפרבולה x² - y² = 1 (הקביעה מתבססת על הזהות cosh²(t) - sinh²(t) = 1 ועל כך ש cosh t > 0 לכל t).

למרות זאת, הפונקציות ההיפרבוליות אינן פונקציות מחזוריות.

הפרמטר t איננו זווית מעגלית, אלא זווית היפרבולית שמייצגת את פעמיים השטח בין ציר ה־X, ההיפרבולה, והקו הישר שמחבר את ראשית הצירים לנקודה על ההיפרבולה (cosh t, sinh t).

בדומה לפונקציית cos x, הפונקציה cosh x הינה פונקציה זוגית (סימטרית סביב ציר Y)ו־cosh 0=1.

בדומה לפונקציית sin x, הפונקציה sinh x הינה פונקציה אי זוגית (סימטרית סביב ראשית הצירים)ו sinh 0=0.

הפונקציות ההיפרבוליות מקיימות זהויות רבות, כולן דומות לזהויות טריגונומטריות. למעשה, חוק אוסבורן מראה שניתן להמיר כל זהות טריגונומטרית לזהות היפרבולית, על ידי החלפת סינוס בסינוס היפרבולי, קוסינוס בקוסינוס היפרבולי, והפיכת הסימן של כל ביטוי שמכיל שני סינוסים היפרבוליים.
לדוגמא:

$\cosh^2(x) = \frac{1+\cosh(2x)}{2} \Rightarrow \cos^2(x) = {1 + \cos(2x) \over 2}$

$\sinh^2(x) = \frac{\cosh(2x)-1}{2} \Rightarrow \sin^2(x) = {1 - \cos(2x) \over 2}$

$\sinh(x+y) = \sinh(x) \cosh(y) + \cosh(x) \sinh(y) \,$

$\Rightarrow\sin(x + y) = \sin(x) \cos(y) + \cos(x) \sin(y)\,$

$\cosh(x+y) = \cosh(x) \cosh(y) + \sinh(x) \sinh(y) \,$

$\Rightarrow\cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y)\,$

[עריכה] זהויות נוספות

$\sinh(x - y)\ = \sinh(x)cosh(y)\ - \cosh(x)sinh(y)\,$

$\cosh(x - y)\ = \cosh(x)cosh(y)\ - \sinh(x)sinh(y)\,$

$\tanh(x + y) = \frac{\tanh(x) +\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)} \,$

$\tanh(x - y) = \frac{\tanh(x) -\tanh(y)}{1-\tanh(x)\tanh(y)} \,$

[עריכה] הנגזרות של הפונקציות ההיפרבוליות

$\cosh'(x) = \sinh(x) \,$

$\sinh'(x) = \cosh(x) \,$

$\tanh'(x) = {1 \over \operatorname{cosh^2}(x)}$

$\ cotanh'(x) = -{1 \over \operatorname{sinh^2}(x)}$

$\operatorname{sech}'(x)=-{\operatorname{sinh}(x) \over \operatorname{cosh^2}(x)}$

$\operatorname{csch}'(x)=-{\operatorname{cosh}(x) \over \operatorname{sinh^2}(x)}$

[עריכה] הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות

Arctanhx

פונקציות אלו נקראות ארק (דוגמה: ארק סינוס היפרבולי היא הפונקציה ההפוכה לסינוס היפרבולי).

$\operatorname{arcsinh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

$\operatorname{arccosh}(x) = \ln(x \pm \sqrt{x^2 - 1})$

$\operatorname{arctanh}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right) \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

$\operatorname{arccoth}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1}\right) \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

$\operatorname{arcsech}(x) = \ln\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)$

$\operatorname{arccsch}(x) = \ln\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 + x^2}}{x}\right)$

[עריכה] הגדרת הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות כטורים

ניתן להביע את הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות כטורים:

$\operatorname{arcsinh} (x) = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1$

$\operatorname{arccosh} (x) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots ) = \ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , x > 1$

$\operatorname{arctanh} (x) = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1$

$\operatorname{arccsch} (x) = \operatorname{arcsinh} (x^{-1}) = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =\sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1$

$\operatorname{arcsech} (x) = \operatorname{arccosh} (x^{-1}) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots ) = \ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {(2n)} , 0 < x \le 1$

$\operatorname{arccoth} (x) = \operatorname{arctanh} (x^{-1}) = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| > 1$

[עריכה] הנגזרות של הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות

$\operatorname{arcsinh}'(x)=\frac {1} {\sqrt{x^2 + 1}}$

$\operatorname{arccosh}'(x)=\frac {1} {\sqrt{x^2 - 1}}$

$\operatorname{arctanh}'(x) = {1 \over 1-x^2}$

[עריכה] פונקציות היפרבוליות עבור מספרים מרוכבים

פונקציות היפרבוליות יכולות לקבל בתור ארגומנט מספר מרוכב. ניתן, בעזרת נוסחת אוילר ( $e^{\imath x} = \cos x + \imath \;\sin x$ ) להגיע לקשרים הבאים בין הפונקציות ההיפרבוליות לפונקציות הטריגונומטריות עבור ארגומנטים מרוכבים:

$\cosh(\imath x) = \frac{(e^{\imath x} + e^{-\imath x})}{2} = \cos(x)$

$\sinh(\imath x) = \frac{(e^{\imath x} - e^{-\imath x})}{2} = \imath \sin(x)$

$\tanh(\imath x) = \imath \tan(x) \,$

$\sinh(x) = -\imath \sin(\imath x) \,$

$\cosh(x) = \cos(\imath x) \,$

$\tanh(x) = -\imath \tan(\imath x) \,$

$\operatorname{arcsinh}(x) = \imath \arcsin(-\imath x)$

$\operatorname{arccosh}(x) = \imath \arccos(x)$

$\operatorname{arctanh}(x) = \imath \arctan(-\imath x)$

במשוואות הבאות, $\ z=x+\imath y, \quad z \in \mathbb{C}$ :

$\sin(z) = \sin(x) \cosh(y) + \imath \cos(x) \sinh(y) \,$

$\cos(z) = \cos(x) \cosh(y) - \imath \sin(x) \sinh(y) \,$

$\sinh(z) = \sinh(x) \cos(y) + \imath \cosh(x) \sin(y) \,$

$\cosh(z) = \cosh(x) \cos(y) + \imath \sinh(x) \sin(y) \,$

$|\sin(z)|^2 = \sin^2(x) + \sinh^2(y) \,$

$|\cos(z)|^2 = \cos^2(x) + \sinh^2(y) \,$

$|\sinh^2(z)| = \sinh^2(x) + \sin^2(y) \,$

$|\cosh^2(z)| = \sinh^2(x) + \cos^2(y) \,$

[עריכה] שימושים בפונקציות היפרבוליות

הפונקציות ההיפרבוליות מופיעות בבעיות רבות בתחומי המתמטיקה והפיזיקה, בהן מעורב אינטגרל המכיל את הביטוי : $\frac {1} {\sqrt{x^2 + 1}}$ (זאת בעוד שהפונקציות הטריגונומטריות מופיעות בבעיות, בהן מעורב אינטגרל המכיל את הביטוי : $\frac {1} {\sqrt{1- x^2}}$ ).

דוגמאות:

קוסינוס היפרבולי הוא הפונקציה המתארת את צורתו של כבל תלוי בין שני עמודים.
סינוס היפרבולי מופיע בביטוי לפוטנציאל הכבידתי של גליל, ובחישוב גבול רוש (Roche limit).
טנגנס היפרבולי מופיע בחישובי מהירות בתורת היחסות הפרטית.
סינוס, קוסינוס וטנגנס היפרבוליים מופיעים בחישובי תורת היחסות הכללית.
הפונקציות ההיפרבוליות מופיעות במשפטים בגאומטריה היפרבולית.

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%A4/%D7%95/%D7%A0/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%94%D7%99%D7%A4%D7%A8%D7%91%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%95%D7%AA.html

קטגוריות: ויקיפדיה: ערכים הדורשים פישוט | טריגונומטריה